□投稿者/ X 大御所(291回)-(2008/09/28(Sun) 23:43:33)
 | 2008/10/02(Thu) 11:54:18 編集(投稿者)
(1)
x=k(0≦k≦n)のときの整数の組は
(k,0),(k,1),…,(k,n-k)
のn-k+1[個]
∴求める個数は
Σ[k=0〜n](n-k+1)=Σ[l=0〜n](l+1)(l=n-kと置いた)
=1+Σ[l=1〜n](l+1)
=1+(1/2)n(n+1)+n
=(1/2)(n^2+3n+2) [個]
(2)
z=m(m=1,…,n)
のときの整数の組(x,y,z)の組の個数は
x+y≦n-m,x≧0,y≧0
を満たす整数(x,y)の組に等しく
(1/2){(n-m)^2+3(n-m)+2}[個] (∵)(1)の結果から
よって求める個数は
Σ[m=0〜n](1/2){(n-m)^2+3(n-m)+2}
=Σ[p=0〜n](1/2)(p^2+3p+2) (p=n-mと置いた)
=1+(1/2)Σ[p=1〜n](p^2+3p+2)
=1+(1/2){(1/6)n(n+1)(2n+1)+(3/2)n(n+1)+2n}
=1+(1/2){(1/6)n(n+1)(2n+10)+2n}
=1+(1/2){(1/3)n(n+1)(n+5)+2n}
=(1/6){n(n+1)(n+5)+6n+6}
=(1/6)(n^3+6n^2+11n+6) [個]
ということで
ア1 イ3 ウ2 エ1 オ6 カ11 キ6
となりました。
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