 | 題意を満たすa,b,cについての必要条件のみ考えます。
そうすれば、推論の過程で必要条件以外に解が存在する可能性を排除できます。
問題で与えられている条件は以下の通りです。
(1)a,b,cは整数で、0 < a < b
(2)(x) = x(x-a)(x-b)-17が(x-c)で割り切れる
F(x) = x(x-a)(x-b)-17とすると、F(x)はxの整式です。
条件(2)より、F(x) = (x-c)G(x)と因数分解できることになります。
この因数分解はxについての恒等式です。
x = cとおくとF(c) = (c-c)G(c) = 0です。
一方F(c) = c(c-a)(c-b)-17 = 0ですから、これからc(c-a)(c-b) = 17が導かれます。
推論で得た必要条件として、
(3)c(c-a)(c-b) = 17
を追加します。条件(3)は実質条件(2)と同値です。
条件(3)より、
(4)c, c-a, c-bは3つとも正であるか、1つが正で他の2つが負。
を追加します。
条件(1)より、
(5)c-b < c-a < c
を追加します。
もし、c < 0とすると、条件(5)よりc-a < 0かつc-b < 0となり、条件(4)を満たしません。
よって、条件(4)を満たすのは、
(6)0 < c-b < c-a < cであるか、c-b < c-a < 0 < c
となり、他の可能性はありませんので、書く必要もありません。(書かないべきです。)
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