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■35890 / inTopicNo.1)

　恒等式

□投稿者/ てつ一般人(1回)-(2008/09/22(Mon) 18:49:58)

こんばんは！

恒等式(2x+1)/x(x-1)^2=a/x+b/(x-1)^2+c/(x-1)をみたす定数a,b,cを求めよ。

恒等式であるからxに0.1.2をだいにゅうして、

0=b-c
0=a
5/2=2b=2c

a=0,b=c=4/5としたのですが答えがa=1.b=3.c=-1となっていて間違えています。なにが間違えてるのでしょうか？

(携帯)

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■35891 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 恒等式

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□投稿者/ らすかる大御所(438回)-(2008/09/22(Mon) 19:18:10)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

左辺の分母が0になってしまいますので、0や1は代入できません。
（0=b-c や 0=a という式は出てきません。）

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■35900 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 恒等式

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□投稿者/ WIZ 大御所(289回)-(2008/09/23(Tue) 20:08:29)

分母が0にならない異なる3つの値をxに代入して、a,b,cの連立方程式を作っても良いのですが、
それらが1次独立になるとは限らないのでこの方法はあまりお勧めしません。

それより、
(2x+1)/{x(x-1)^2} = a/x+b/{(x-1)^2}+c/(x-1)
の両辺にx(x-1)^2をかけて、
2x+1 = a*(x-1)^2+bx+c*x(x-1) = (a+c)x^2+(-2a+b-c)x+a
と変形します。上記もxについての恒等式でなくてはならないので、
両辺のxのべき乗の係数を比べて、

a+c = 0・・・・・(1)
-2a+b-c = 2・・・・・(2)
a = 1・・・・・(3)

(3)より、a = 1です。
(1)より、c = -a = -1です。
(2)より、b = 2+2a+c = 2+2*1-1 = 3です。

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■35902 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 恒等式

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□投稿者/ 通りすがり一般人(3回)-(2008/09/23(Tue) 21:04:44)

■No35900に返信(WIZさんの記事)
> 分母が0にならない異なる3つの値をxに代入して、a,b,cの連立方程式を作っても良いのですが、
> それらが1次独立になるとは限らない
その　例を　教えてください a=__,b=___,c__.

a=7+5*I,b=3,c=________

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■35912 / inTopicNo.5)

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□投稿者/ てつ一般人(2回)-(2008/09/24(Wed) 17:57:22)

ご回答ありがとうございます。

恒等式は分母を0にする数以外の数すべてにおいて成り立つ式であるので、分母を0にする値もいれていいのだ。のような記述があったのでやってみたのですがx/0=0ではないですね。分母を取っ払ってからならば分母を0にする値も代入してもかまわない、そういう意味だと気付きました。

またひとつ理解できました。
ありがとうございます！！

(携帯)

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■35915 / inTopicNo.6)

　Re[3]: 恒等式

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□投稿者/ nim 一般人(2回)-(2008/09/24(Wed) 19:19:17)

$2$ \left[ {\begin{array}{c} {\frac{1}{{x_1 }}} & {\frac{1}{{\left( {x_1 - 1} \right)}}} & {\frac{1}{{\left( {x_1 - 1} \right)^2 }}} \\ {\frac{1}{{x_2 }}} & {\frac{1}{{\left( {x_2 - 1} \right)}}} & {\frac{1}{{\left( {x_2 - 1} \right)^2 }}} \\ {\frac{1}{{x_3 }}} & {\frac{1}{{\left( {x_3 - 1} \right)}}} & {\frac{1}{{\left( {x_3 - 1} \right)^2 }}} \\ \end{array}} \right]$

の行列式=0
とすると、

$2$ \left( {x_1 - x_2 } \right)\left( {x_2 - x_3 } \right)\left( {x_3 - x_1 } \right) = 0$
となるので、（分母０以外の）相異なる
$2$ x_1 ,x_2 ,x_3$ 　の場合には、1次独立。

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