数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 数と式 / Page: 0]

数学ナビゲーター掲示板
(現在過去ログ4 を表示中)

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■35415 / inTopicNo.1)

　数と式

▼■

□投稿者/ kaba 一般人(42回)-(2008/09/03(Wed) 14:11:11)

x+y+z=3,xy+yz+zx=3を同時に満たす実数の組(x,y,z)は(1,1,1)のみ
であることを示せ。

どうやればよいのか教えてください。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■35418 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数と式

▲▼■

□投稿者/ らすかる大御所(406回)-(2008/09/03(Wed) 14:52:08)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

x+y=u, x-y=v （u,vは実数）とおくと xy=(u^2-v^2)/4 なので
u+z=3, (u^2-v^2)/4+uz=3
2式からzを消去して整理すると 3(u-2)^2+v^2=0
この式が成り立つのは u=2, v=0 の時のみなので、x=y=z=1

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■35419 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 数と式

▲▼■

□投稿者/ birds 一般人(3回)-(2008/09/03(Wed) 15:06:24)

x+y+z=3,xy+yz+zx=3
X=x-1,Y=y-1,Z=z-1
とすると
X+Y+Z=0
XY+YZ+ZX=0
ＸＹＺ＝a＾3とおくと
X,Y,Zは
t^3-a＾3=0
の3つの(実数)解
(t-a)(t^2+at+a^2)=0
より１つの実数解はa
他の２つは
t^2+at+a^2=0
の（実数）解
判別式をＤとすると、
Ｄ=a^2-4a^2=-3a^2
より　実数解を持つのは
a=0
のときのみ。
このとき、ｔ=0　が3重解。
Ｘ＝Ｙ＝Ｚ＝０　
x=ｙ=ｚ=1

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■35420 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 数と式

▲▼■

□投稿者/ WIZ ベテラン(222回)-(2008/09/03(Wed) 15:22:29)

別解。

y+z = 3-x, yz = 3-x*(y+z) = 3-x*(3-x) = 3-3x+x^2
よってy,zは2次方程式t^2-(3-x)t+(3-3x+x^2) = 0の解となります。
y,zは実数なので、判別式(3-x)^2-4(3-3x+x^2) = -3+6x-3x^2 = -3(1-x)^2 ≧ 0である必要があります。
よって、x = 1となり、t^2-(3-1)t+(3-3*1+1^2) = t^2-2t+1 = (t-1)^2 = 0より、y = z = 1となります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■35421 / inTopicNo.5)

　Re[2]: 数と式

▲▼■

□投稿者/ kaba 一般人(43回)-(2008/09/03(Wed) 16:22:19)

みなさん、ありがとうございました。

解決済み!

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

トピック内ページ移動 / << 0 >>

このトピックに書きこむ

過去ログには書き込み不可

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター