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■35322 / inTopicNo.1)  平面のベクトル方程式
  
□投稿者/ あ〜 一般人(2回)-(2008/08/30(Sat) 15:53:37)
    3点A、B、Cによって定まる平面の方程式は、
    ベクトルAP=s(ベクトルAB)+t(ベクトルAC)
    P(x,y,z),A(a1,a2,a3),B(b1,b2,b3,),C(c1,c2,c3)とすれば、
    (x-a1,y-a2,z-a3)=s(b1-a1,b2-a2,b3-a3)+t(c1-a1,c2-a2,c3-a3)
    よって、媒介変数表示は、
    x=a1+s(b1-a1)+t(c1-a1)
    y=a2+s(b2-a2)+t(c2-a2)‐‐‐@
    z=a3+s(b3-a3)+t(c3-a3)

    法線ベクトルnに垂直で、点Aを通る平面は、
    (ベクトルAP)・(ベクトルn)=0
    P(x,y,z),ベクトルn=(a,b,c),A(p,q,r)とすれば、
    平面の方程式は、
    a(x-p)+b(y-q)+c(z-r)=0‐‐‐A

    平面の媒介変数表示から平面の方程式を導いたり、
    平面の方程式を媒介変数表示するにはどうすればいいですか?
    @→A、A→@の変形方法を教えてください。
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■35325 / inTopicNo.2)  Re[1]: 平面のベクトル方程式
□投稿者/ Bij 一般人(1回)-(2008/08/30(Sat) 17:09:13)
    No35322に返信(あ〜さんの記事)
    > @→A
    x = a1 + s*(b1 - a1) + t*(c1 - a1),
    y = a2 + s*(b2 - a2) + t*(c2 - a2),
    z = a3 + s*(b3 - a3) + t*(c3 - a3)
    (s,t)--->(x,y)が全単射としても一般性を失わない。
    逆写像をもとめ、z = a3 + s*(b3 - a3) + t*(c3 - a3) に代入してQED.

    と 云うは易し で シコシコ手で行うのは嫌だから 依存すると;
    Solve[{x == a1 + s*(b1 - a1) + t*(c1 - a1),
    y == a2 + s*(b2 - a2) + t*(c2 - a2)}, {s, t}]
    ={{s -> -((-a2*c1 + a1*c2 + a2*x - c2*x -
    a1*y + c1*y)/(-a2*b1 + a1*b2 +
    a2*c1 - b2*c1 - a1*c2 + b1*c2)),
    t -> -((-a2*b1 + a1*b2 + a2*x - b2*x -
    a1*y + b1*y)/(a2*b1 - a1*b2 -
    a2*c1 + b2*c1 + a1*c2 - b1*c2))}}
    これをz = a3 + s*(b3 - a3) + t*(c3 - a3) に代入して
    超簡単な x,y,zの一次方程式となり片方の証明はQED。

    逆は易しい

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■35326 / inTopicNo.3)  Re[1]: 平面のベクトル方程式
□投稿者/ Bij 一般人(2回)-(2008/08/30(Sat) 17:22:41)
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