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■35301 / inTopicNo.1) 　数列
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□投稿者/ 数学勉強中 一般人(8回)-(2008/08/29(Fri) 21:23:05)
    自然数n=1,2,3…に対して、2^n+3^nを5で割った商をa(n),あまりをb(n)とする。
    （１）b(n)を求めよ。
    nが偶数のとき0、nが奇数のときそれ以外
    どう証明すればよいのでしょうか…数学的帰納法で示せそうな気はするのですが・・・

    (2)自然数m=1,2,3,…に対して、S=∑[k=1→4m]a(k)を求めよ。

    というものです。(2)は手つかずです。
    よろしくお願いします。
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■35302 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 数列
□投稿者/ だるまにおん 付き人(80回)-(2008/08/29(Fri) 21:47:10)
    2008/08/29(Fri) 21:48:42 編集(投稿者)

    (1)
    k≡1(mod4)のとき2^k≡2(mod5),3^k≡3(mod5)
    k≡2(mod4)のとき2^k≡4(mod5),3^k≡4(mod5)
    k≡3(mod4)のとき2^k≡3(mod5),3^k≡2(mod5)
    k≡0(mod4)のとき2^k≡1(mod5),3^k≡1(mod5)
    よって
    k≡1(mod4)のとき2^k+3^k≡2+3≡0(mod5)
    k≡2(mod4)のとき2^k+3^k≡4+4≡3(mod5)
    k≡3(mod4)のとき2^k+3^k≡3+2≡0(mod5)
    k≡0(mod4)のとき2^k+3^k≡1+1≡2(mod5)
    以上より
    nが奇数のときb[n]=0
    nを4で割った余りが2のときb[n]=3
    nが4の倍数のときb[n]=2
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■35305 / inTopicNo.3) 　Re[1]: 数列
□投稿者/ 泥臭 一般人(1回)-(2008/08/29(Fri) 22:30:43)
    参考まで；
    In[5]:=
    Table[2^n + 3^n, {n, 1, 19}]
    Mod[%, 5]
    Quotient[%%, 5]

    Out[5]=
    {5, 13, 35, 97, 275, 793, 2315, 6817,
    20195, 60073, 179195, 535537, 1602515,
    4799353, 14381675, 43112257, 129271235,
    387682633, 1162785755}

    Out[6]=
    {0, 3, 0, 2, 0, 3, 0, 2, 0, 3, 0, 2, 0, 3,
    0, 2, 0, 3, 0}

    Out[7]=
    {1, 2, 7, 19, 55, 158, 463, 1363, 4039,
    12014, 35839, 107107, 320503, 959870,
    2876335, 8622451, 25854247, 77536526,
    232557151}
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■35312 / inTopicNo.4) 　Re[2]: 数列
□投稿者/ 数学勉強中 一般人(9回)-(2008/08/30(Sat) 00:31:11)
    だるまにおんさん、合同式を使わないで表現してもらえませんか？
    確かに、使いこなせるとは便利だとは思うものの、合同式はなれていないので・・・お願いします。。
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■35318 / inTopicNo.5) 　Re[2]: 数列
□投稿者/ Ｎ 軍団(104回)-(2008/08/30(Sat) 07:53:48)
    横から失礼します。
    それでは、2^n+3^nをn=1,2,3…をある程度代入すると、５で割った余りは0,3,0,1の繰り返しになると予想が立ちます。
    つまり、4n-3と4n-1の時は余りが0、4n-2の時は余りは3、4nの時は余りが1です。

    それでは4ｎ-3と4ｎ-1の時、すなわち奇数の時を数学的帰納法で。
    4n-3と4n-1はともに奇数なので2n-1を考える。つまり、2^(2n-1)+3^(2n-1)を５で割った余りが０になることを示したい。
    n=kの時
    2^(2k-1)+3^(2k-1)＝5x（xは任意の整数）
    が成立すると仮定する。
    n=k+1の時
    2^2*2^(2k-1)+3^2*3^(2k-1)＝4*2^(2k-1)+9*3^(2k-1)
    ここで2^(2k-1)+3^(2k-1)＝5xを2^(2k-1)＝-3^(2k-1)+5xとして代入します。
    -4*3^(2k-1)+20x+9*3^(2k-1)＝20x+5*3^(2k-1)となり、これは余りが0になります。

    後は4nと4n-2の時も同様に考えてはいかがでしょうか？
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■35320 / inTopicNo.6) 　Re[3]: 数列
□投稿者/ WIZ ベテラン(209回)-(2008/08/30(Sat) 09:34:34)
    Nさんへ
    > それでは、2^n+3^nをn=1,2,3…をある程度代入すると、５で割った余りは0,3,0,1の繰り返しになると予想が立ちます。
    > つまり、4n-3と4n-1の時は余りが0、4n-2の時は余りは3、4nの時は余りが1です。

    5で割った余りは{0,3,0,2}の繰り返しで、4nのときは余り2となりますね。


    以下、横から失礼します。

    (1)
    nを自然数として、f(n) = 2^n+3^nとおきます。

    n ≧ 2の場合、
    (2+3)*f(n) = (2+3)(2^n+3^n) = 2^(n+1)+2*3^n+3*2^n+3^(n+1)
    = {2^(n+1)+3^(n+1)}+2*3*{2^(n-1)+3^(n-1)} = f(n+1)+6*f(n-1)

    変形すると、f(n+1) = 5*f(n)-6*f(n-1) = 5*{f(n)-f(n-1)}-f(n-1)となります。
    N = n-1とすれば、Nは任意の自然数となり、
    f(N+2) = 5*{f(N+1)-f(N)}-f(N)となります。

    上記から、f(N+2)を5で割った余りは、-f(N)を5で割った余りと同じであることが分かります。

    f(1) = 2+3 = 5 ⇒ b(1) = 0です。
    よってkを負でない整数として、b(2k+1) = ((-1)^k)*0 = 0です。

    f(2) = 2^2+3^2 = 13 ⇒ b(2) = 3です。
    よってkを負でない整数として、b(2k+2) = ((-1)^k)*3です。
    kが偶数の場合、jを負でない整数としてk = 2jとおくと、
    b(2*2j+2) = b(4j+2) = ((-1)^(2j))*3 = 3です。
    kが奇数の場合、jを負でない整数としてk = 2j+1とおくと、
    b(2*(2j+1)+2) = b(4j+4) = ((-1)^(2j+1))*3 = -3となりますが、
    -3 = -1*5+2ですから、b(4j+4) = 2ともいえます。

    以上をまとめるとb(n)は、
    (A)nが奇数(4で割って1余る自然数または4で割って3余る自然数)の場合、b(n) = 0
    (B)nが4で割って2余る自然数の場合、b(n) = 3
    (C)nが4で割りきれる自然数の場合、b(n) = 2
    となります。

    (2)
    f(n) = 5*a(n)+b(n)より、kを任意の自然数として、
    f(4k-3) = 5*a(4k-3)+b(4k-3)
    f(4k-2) = 5*a(4k-2)+b(4k-2)
    f(4k-1) = 5*a(4k-1)+b(4k-1)
    f(4k) = 5*a(4k)+b(4k)

    上記の4つの式を加えると、
    f(4k-3)+f(4k-2)+f(4k-1)+f(4k)
    = 5*{a(4k-3)+a(4k-2)+a(4k-1)+a(4k)}+{b(4k-3)+b(4k-2)+b(4k-1)+b(4k)}

    ここで、
    f(4k-3)+f(4k-2)+f(4k-1)+f(4k)
    = (2^(4k-3))*(1+2+2^2+2^3)+(3^(4k-3))*(1+3+3^2+3^3)
    = (2^(4k-3))*15+(3^(4k-3))*40
    = (15/8)*(16^k)+(40/27)*(81^k)

    b(4k-3)+b(4k-2)+b(4k-1)+b(4k) = 0+3+0+2 = 5
    です。

    よって、
    (15/8)*(16^k)+(40/27)*(81^k) = 5*{a(4k-3)+a(4k-2)+a(4k-1)+a(4k)}+5
    上記の両辺を5で割ると
    (3/8)*(16^k)+(8/27)*(81^k) = a(4k-3)+a(4k-2)+a(4k-1)+a(4k)+1
    ⇒ a(4k-3)+a(4k-2)+a(4k-1)+a(4k) = (3/8)*(16^k)+(8/27)*(81^k)-1

    S = ∑[k=1→4m]a(k)
    = ∑[k=1→m]{a(4k-3)+a(4k-2)+a(4k-1)+a(4k)}
    = ∑[k=1→m]{(3/8)*(16^k)+(8/27)*(81^k)-1}
    = ∑[k=1→m]{(3/8*16)*(16^(k-1))+(8/27*81)*(81^(k-1))-1}
    = 6*(16^m-1)/(16-1)+24*(81^m-1)/(81-1)-m
    = (2/5)*(16^m-1)+(3/10)*(81^m-1)-m

    # 計算間違いしていたらごめんなさい。
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■35321 / inTopicNo.7) 　Re[4]: 数列
□投稿者/ Ker 一般人(1回)-(2008/08/30(Sat) 09:49:15)
    ■No35320に返信(WIZさんの記事)
    > WiZさんへ
    > nを自然数として、f(n) = 2^n+3^nとおきます。
    >
    >f(n+1) = 5*f(n)-6*f(n-1) = 5*{f(n)-f(n-1)}-f(n-1)となります。

    Ker(E - 2*I)*(E - 3*I))=Ker(6*I - 5*E + E^2)=Ker(E - 2*I) + Ker(E - 3*I)

    からも　満たす　差分方程式（漸化式）を　得ますね。
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