□投稿者/ WIZ ベテラン(209回)-(2008/08/30(Sat) 09:34:34)
 | Nさんへ
> それでは、2^n+3^nをn=1,2,3…をある程度代入すると、５で割った余りは0,3,0,1の繰り返しになると予想が立ちます。
> つまり、4n-3と4n-1の時は余りが0、4n-2の時は余りは3、4nの時は余りが1です。
5で割った余りは{0,3,0,2}の繰り返しで、4nのときは余り2となりますね。
以下、横から失礼します。
(1)
nを自然数として、f(n) = 2^n+3^nとおきます。
n ≧ 2の場合、
(2+3)*f(n) = (2+3)(2^n+3^n) = 2^(n+1)+2*3^n+3*2^n+3^(n+1)
= {2^(n+1)+3^(n+1)}+2*3*{2^(n-1)+3^(n-1)} = f(n+1)+6*f(n-1)
変形すると、f(n+1) = 5*f(n)-6*f(n-1) = 5*{f(n)-f(n-1)}-f(n-1)となります。
N = n-1とすれば、Nは任意の自然数となり、
f(N+2) = 5*{f(N+1)-f(N)}-f(N)となります。
上記から、f(N+2)を5で割った余りは、-f(N)を5で割った余りと同じであることが分かります。
f(1) = 2+3 = 5 ⇒ b(1) = 0です。
よってkを負でない整数として、b(2k+1) = ((-1)^k)*0 = 0です。
f(2) = 2^2+3^2 = 13 ⇒ b(2) = 3です。
よってkを負でない整数として、b(2k+2) = ((-1)^k)*3です。
kが偶数の場合、jを負でない整数としてk = 2jとおくと、
b(2*2j+2) = b(4j+2) = ((-1)^(2j))*3 = 3です。
kが奇数の場合、jを負でない整数としてk = 2j+1とおくと、
b(2*(2j+1)+2) = b(4j+4) = ((-1)^(2j+1))*3 = -3となりますが、
-3 = -1*5+2ですから、b(4j+4) = 2ともいえます。
以上をまとめるとb(n)は、
(A)nが奇数(4で割って1余る自然数または4で割って3余る自然数)の場合、b(n) = 0
(B)nが4で割って2余る自然数の場合、b(n) = 3
(C)nが4で割りきれる自然数の場合、b(n) = 2
となります。
(2)
f(n) = 5*a(n)+b(n)より、kを任意の自然数として、
f(4k-3) = 5*a(4k-3)+b(4k-3)
f(4k-2) = 5*a(4k-2)+b(4k-2)
f(4k-1) = 5*a(4k-1)+b(4k-1)
f(4k) = 5*a(4k)+b(4k)
上記の4つの式を加えると、
f(4k-3)+f(4k-2)+f(4k-1)+f(4k)
= 5*{a(4k-3)+a(4k-2)+a(4k-1)+a(4k)}+{b(4k-3)+b(4k-2)+b(4k-1)+b(4k)}
ここで、
f(4k-3)+f(4k-2)+f(4k-1)+f(4k)
= (2^(4k-3))*(1+2+2^2+2^3)+(3^(4k-3))*(1+3+3^2+3^3)
= (2^(4k-3))*15+(3^(4k-3))*40
= (15/8)*(16^k)+(40/27)*(81^k)
b(4k-3)+b(4k-2)+b(4k-1)+b(4k) = 0+3+0+2 = 5
です。
よって、
(15/8)*(16^k)+(40/27)*(81^k) = 5*{a(4k-3)+a(4k-2)+a(4k-1)+a(4k)}+5
上記の両辺を5で割ると
(3/8)*(16^k)+(8/27)*(81^k) = a(4k-3)+a(4k-2)+a(4k-1)+a(4k)+1
⇒ a(4k-3)+a(4k-2)+a(4k-1)+a(4k) = (3/8)*(16^k)+(8/27)*(81^k)-1
S = ∑[k=1→4m]a(k)
= ∑[k=1→m]{a(4k-3)+a(4k-2)+a(4k-1)+a(4k)}
= ∑[k=1→m]{(3/8)*(16^k)+(8/27)*(81^k)-1}
= ∑[k=1→m]{(3/8*16)*(16^(k-1))+(8/27*81)*(81^(k-1))-1}
= 6*(16^m-1)/(16-1)+24*(81^m-1)/(81-1)-m
= (2/5)*(16^m-1)+(3/10)*(81^m-1)-m
# 計算間違いしていたらごめんなさい。
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