数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[8]: 不等式の証明 / Page: 0]

数学ナビゲーター掲示板
(現在過去ログ1 を表示中)

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■3515 / inTopicNo.1)

　不等式の証明

□投稿者/ FAXER 一般人(5回)-(2005/08/31(Wed) 16:27:13)

次の不等式が成り立つことを証明せよ。

①　x>0のとき、　nx+(1/(1+x)^n) > 1　　（nは自然数）
②　x>0のとき、　sinx+cosx > 1+x-x^2
③　0<x<π/2のとき、　2x/π < sinx <x

　上の問題が、どのようにして証明すればいいのかよくわかりません。
　よろしくお願いします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■3516 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 不等式の証明

▲▼■

□投稿者/ だるまにおんファミリー(158回)-(2005/08/31(Wed) 16:41:57)

2005/08/31(Wed) 16:46:33 編集(投稿者)

(1)とりあえずf(x)=nx+(1/(1+x)^n)を微分すると、
f'(x)=n-n/{(x+1)^(n+1)}
ですね。この式をよくみるとx>0であり、n/{(x+1)^(n+1)}の部分がnより小さいので、
この式全体の符号は正となります、ということはx>0でf(x)=nx+(1/(1+x)^n)は単調増加.
f(0)=1なので、f(x)のグラフは、x=0のとき1を出発に単調増加のグラフですから、
x>0においてnx+(1/(1+x)^n) > 1であることが示せました。
(2)f(x)=sinx+cosx+x^2-x-1とおきます。
f'(x)=cosx-sinx+2x-1
f''(x)=-sinx-cosx+2
よってf''(x)はつねに正なので、f'(x)は単調増加であります。
またf'(0)=0なので、x>0において常にf'(x)>0　
よってf(x)はx>0において常に単調増加。f(0)=0なので、x>0で常にf(x)>0
よってx>0でsinx+cosx+x^2-x-1>0であることが示されました。
(3)も同じようにやってみてください。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■3529 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 不等式の証明

▲▼■

□投稿者/ FAXER 一般人(6回)-(2005/08/31(Wed) 20:31:13)

ご返答ありがとうございます。
①と②は上の説明のおかげでわかりました。
でも、③は、2x/π < sinx <x　からf(x)をなんとおけばいいのかよくわかりません。
できれば、③の証明過程もよろしくお願いします。（いろいろすみません^^;）

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■3530 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 不等式の証明

▲▼■

□投稿者/ だるまにおんファミリー(164回)-(2005/08/31(Wed) 20:34:05)

f(x)=sinx-2x/π
g(x)=x-sinx
が0<x<π/2でどちらとも正であることを示せばよろしいかと存じます。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■3560 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 不等式の証明

▲▼■

□投稿者/ FAXER 一般人(7回)-(2005/09/01(Thu) 12:47:34)

f(x)=sinx-(2x/π)
g(x)=x-sinx
とおく。

f'(x)=cosx-(2/π)
f'(0)=1-0.63 >0
f'(π/2)=0.9-0.63 >0
よって、f'(x)は常に0<x<π/2において正なのでf(x)は単調に増加する。また、
f(0)=0-0=0
f(π/2)=0.02-1　　　　←？？
となるので0<x<π/2において常にf(x)>0となる。

g'(x)=1-cosx
g'(0)=1-1=0
g'(π/2)=1-0.9 >0
よって、g'(x)は常に0<x<π/2において正なのでg(x)は単調に増加する。また、
g(0)=0-0=0
g(π/2)=(π/2)-0.02 >0
となるので0<x<π/2において常にg(x)>0となる。

よって、0<x<π/2において2x/π < sinx <xが成り立つ。

上のように証明しようとやってみたのですが、f(x)>0と示すところがうまくいきません。どうすればいいでしょうか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■3566 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 不等式の証明

▲▼■

□投稿者/ だるまにおんファミリー(181回)-(2005/09/01(Thu) 14:58:05)

まず、注意しなければならないのは、
>g'(x)=1-cosx
>g'(0)=1-1=0
>g'(π/2)=1-0.9 >0
>よって、g'(x)は常に0<x<π/2において正なのでg(x)は単調に増加する。
このくだりは正しくありません。
g'(0),g'(π/2)>0だからといって常に正とは限りません。
g'(x)=1-cosxは1から1より小さいものを引いているから、0<x<π/2において
常に正なのです。気をつけてくださいね。

次にf(x)についてですが、これはちょっと考えなくてはなりません。
先ほど言ったように
>f'(x)=cosx-(2/π)
>f'(0)=1-0.63 >0
>f'(π/2)=0.9-0.63 >0
>よって、f'(x)は常に0<x<π/2において正なのでf(x)は単調に増加する。
これは正しくありません。
f'(x)=cosx-(2/π)この式は0<x<π/2において常に正ではありません。
xが0からπ/2になるにつれてcosx=2/πとなるxがただ一つあります。
そのxをαとおくと、αを境にf'(x)の符号正から負へと符号がかわりますね。
つまり、f(x)はx=αのときに極大値になります。
ところで、f(0)=0,f(π/2)=0なので、f(x)>0（0<x<π/2）ということがわかります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■3573 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 不等式の証明

▲▼■

□投稿者/ FAXER 一般人(8回)-(2005/09/01(Thu) 16:45:09)

> g(0)=0-0=0
> g(π/2)=(π/2)-0.02 >0
> となるので0<x<π/2において常にg(x)>0となる。
というのは合っているんですよね？

あと、f(x)が正であると示すのは、f'(x)は使わずに
> f(0)=0
> f(π/2)=0
よって、0<x<π/2で常にf(x)>0となる。
というようにしていいんですか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■3574 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 不等式の証明

▲▼■

□投稿者/ だるまにおんファミリー(185回)-(2005/09/01(Thu) 16:52:39)

g(0)=0だけで事足りますね。

>あと、f(x)が正であると示すのは、f'(x)は使わずに
> f(0)=0
> f(π/2)=0
>よって、0<x<π/2で常にf(x)>0となる。
>というようにしていいんですか？
だめです。 f(0)=0 f(π/2)=0であってもそのグラフが下に凸だったりしたら、大変ですよ。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■3575 / inTopicNo.9)

　Re[8]: 不等式の証明

▲▼■

□投稿者/ FAXER 一般人(9回)-(2005/09/01(Thu) 17:21:53)

すみませんが、どうやってf(x)が正だと示せばいいのか教えていただけませんか？
お願いします。（ご迷惑かけてすみません＾＾；）

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■3577 / inTopicNo.10)

　Re[9]: 不等式の証明

▲▼■

□投稿者/ だるまにおんファミリー(186回)-(2005/09/01(Thu) 19:38:14)

3566のしたのほうをよく読んでね。