数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 平面図形 / Page: 0]

数学ナビゲーター掲示板
(現在過去ログ4 を表示中)

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■35149 / inTopicNo.1)

　平面図形

□投稿者/ kaba 一般人(34回)-(2008/08/21(Thu) 21:47:26)

座標平面上の３点A(1,0),B(-1,0),C(0,-1)に対し、

∠APC=∠BPCを満たす点Pの軌跡を求めよ。ただし、P≠A,B,Cとする。

ヒントを貰ったのですが、解けません。教えてください。

(余弦定理の解き方のヒント)
PA=a,PB=b,PC=cとおく。
cos∠APC=cos∠BPCより、
(a^2+c^2-2)/2ac=(b^2+c^2-2)/2bc
⇔b(a^2+c^2-2)=a(b^2+c^2-2)
⇔(a-b)(c^2-ab-2)=0
a=bのときは、線分ABの垂直二等分線
c^2-ab-2=0のときは、P(x,y)とおいて数式化する。

(座標の解き方のヒント)
P(Ｘ、Ｙ)として
PCの方程式をつくり、
PCとBAの交点Tの座標を求め、
BT:AT=PB:PAを用いる。(Ｙ<0のときは別に扱う。)

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■35150 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 平面図形

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(526回)-(2008/08/21(Thu) 21:57:43)

■No35149に返信(kabaさんの記事)
> 座標平面上の３点A(1,0),B(-1,0),C(0,-1)に対し、
>
> ∠APC=∠BPCを満たす点Pの軌跡を求めよ。ただし、P≠A,B,Cとする。
>
> ヒントを貰ったのですが、解けません。教えてください。
>
> (余弦定理の解き方のヒント)
> PA=a,PB=b,PC=cとおく。
> cos∠APC=cos∠BPCより、
> (a^2+c^2-2)/2ac=(b^2+c^2-2)/2bc
> ⇔b(a^2+c^2-2)=a(b^2+c^2-2)
> ⇔(a-b)(c^2-ab-2)=0
> a=bのときは、線分ABの垂直二等分線
> c^2-ab-2=0のときは、P(x,y)とおいて数式化する。

このヒントでほとんど終わっています。どこがわからないのでしょうか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■35157 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 平面図形

▲▼■

□投稿者/ kaba 一般人(35回)-(2008/08/22(Fri) 12:13:41)

ちゃんとした解答を教えていただきたいです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■35161 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 平面図形

▲▼■

□投稿者/ 祥子一般人(2回)-(2008/08/22(Fri) 17:15:58)

p(X,Y)とすると、
CP=(X,Y+1)
AP=(X-1,Y)
直線CP
(Y+1)x-X(y+1)=0
直線AP
Y(x-1)-(X-1)Y=0

CPに垂直でBを通る直線
X(x+1)+(Y+1)y=0
交点
x=X(Y+1-X)/(X^2+(Y+1)^2)
y=-X(Y+1+X)/(X^2+(Y+1)^2)
直線CPについてBと対称な点
x=2X(Y+1-X)/(X^2+(Y+1)^2)+1
y=-2X(Y+1+X)/(X^2+(Y+1)^2)
これがAP上にあるのが条件
代入して整理すれば
X(X^2+Y^2-1)=0
X=0　または、　X^2+Y^2=1
流通座標になおしておけば
x=0　（y軸上）　x^2+y^2=1　（単位円上）

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■35162 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 平面図形

▲▼■

□投稿者/ 初心者@頭の中は夏休み一般人(1回)-(2008/08/22(Fri) 17:18:32)

$2$c^{2}-ab-2=0$ のときについて説明すると，
$2$P(x,y)$ とおいたとき，
$2$c^{2}=x^{2}+(y+1)^{2}$ になりますね。
同様に， $2$a=\sqrt{(1-x)^{2}+y^{2}}$ ， $2$b=\sqrt{(1+x)^{2}+y^{2}}$ が成り立ちます。
これをまあ，代入したり，2乗したりいろいろしていくと，
最終的に $2$4y(x^{2}+y^{2}-1)=0$ という式までたどりつきます。
で，ここでまた場合わけになるかと思いますが，
$2$y=0$ の場合については $2$\angle{APC}=\angle{BPC}=0^{\circ}$ の場合を認めるかどうかによって判断が分かれるところですが，
仮に認めることにすると，これは明らかに $2$x$ 軸を表しています。ただし，途中で2乗した関係で， $2$x<-1$ または $2$1<x$ の範囲に限ります。

で， $2$x^{2}+y^{2}-1=0$ のときは明らかに原点中心，半径 $2$1$ の円周を表しています。
もちろん題意より点 $2$A,B,C$ は除きます。

こんなんでおｋ？
ご自身で計算されることをオススメします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■35165 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 平面図形

▲▼■

□投稿者/ kaba 一般人(36回)-(2008/08/22(Fri) 19:04:18)

お二方、返信ありがとうございます。
余弦のやり方は自力でできたので、

>>P(Ｘ、Ｙ)として
PCの方程式をつくり、
PCとBAの交点Tの座標を求め、
BT:AT=PB:PAを用いる。(Ｙ<0のときは別に扱う。)

のやり方での解答を教えていただきたいです。
お願いします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■35220 / inTopicNo.7)

　Re[2]: 平面図形

▲▼■

□投稿者/ 初心者@頭の中は夏休み一般人(2回)-(2008/08/25(Mon) 08:54:34)

やっつけでやってみました。久しぶりにこんな計算したわw

$2$P(X,Y)$ とすると，
$2$PC$ の式は，
$2$X\neq{}0$ のとき， $2$y=\frac{Y+1}{X}x-1$
$2$X=0$ のとき， $2$x=0$

$2$Y>0$ のとき， $2$PC$ と $2$AB$ の交点 $2$T$ の座標は， $2$\left(\frac{X}{Y+1},0\right)$
$2$BT:AT=|\frac{X+Y+1}{Y+1}|:|\frac{X-Y-1}{Y+1}|$
$2$PB:PA=\sqrt{(X+1)^{2}+Y^{2}}:\sqrt{(X-1)^{2}+Y^{2}}$
$2$BT:AT=PB:PA$ より， $2$BT^{2}PA^{2}=AT^{2}PB^{2}$
いろいろ計算して，
$2$\{(X+1)^{2}+y^{2}\}(X-Y-1)^{2}=\{(X-1)^{2}+Y^{2}\}(X+Y+1)^{2}$
$2$X+1=A$ ， $2$X-1=B$ とすると，
$2$(A^{2}+Y^{2})(B-Y)^{2}=(B^{2}+Y^{2})(A+Y)^{2}$
展開して整理すると， $2$Y(A+B)(Y^{2}+AB)=0$
$2$X\neq{0}$ などから， $2$Y(X^{2}+Y^{2}-1)=0$

ここまでで点 $2$P$ の軌跡は，円 $2$x^{2}+y^{2}=1$ の $2$y>0$ の部分と点 $2$C$ を除く $2$y$ 軸，それと $2$x<-1,1<x$ の範囲の $2$x$ 軸であるというとこまでいけてる気がするんですけど，どうですか？

前のレスだと円上の $2$y<0$ の部分が入ってるような書き方になってたけど，今考えてみたら入ってちゃいけないような気もする・・・

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

トピック内ページ移動 / << 0 >>

このトピックに書きこむ

過去ログには書き込み不可

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター