 | 0 ≦ k ≦ 1として、y = kxとおきます。
f(x,y) = f(x,kx) = 2x^2-x*kx-12x+4kx = (2-k)x^2-(12-4k)x
ここで2-k > 0ですから、
f(x,kx) = (2-k){x-(6-2k)/(2-k)}^2-(2-k){(6-2k)/(2-k)}^2
= (2-k){x-(6-2k)/(2-k)}^2-4{(3-k)^2}/(2-k)
よって、{x-(6-2k)/(2-k)}^2 = 0かつ、{(3-k)^2}/(2-k)が最大となるとき、f(x,kx)は最小となります。
g(k) = {(3-k)^2}/(2-k)とおくと、
g'(k) = {2(3-k)(2-k)-((3-k)^2)*(-1)}/{(2-k)^2}
= (3-k){2(2-k)+(3-k)}/{(2-k)^2}
= (3-k)(7-3k)/{(2-k)^2}
0 ≦ k ≦ 1でg'(k) > 0なので、g(k)は単調増加です。
よってf(x,kx) = (2-k){x-(6-2k)/(2-k)}^2-4g(k)は、k = 1かつx = (6-2k)/(2-k)で最小となります。
(6-2*1)/(2-1) = 4なので、x = 4は十分条件です。
よって最小値はf(4,1*4) = 2*4^2-4*4-12*4+4*4 = -16
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