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■34936 / inTopicNo.1) 　確率！
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□投稿者/ ayu 一般人(2回)-(2008/08/07(Thu) 22:41:19)
    １個のサイコロを何度も投げ、ｎ回目(ｎ＝１，２、…)にでた目が
    １，２，３のどれかであれば、Ｘ[ｎ]＝１
    ４か５であれば、Ｘ[ｎ]＝－１
    ６であれば、Ｘ[ｎ]＝０　　とする。
    また、Ｙ[ｎ]＝Ｘ[１]×Ｘ[２]×…×Ｘ[ｎ]　とおき、Ｙ[ｎ]が０となる確率をｐ[ｎ]、Ｙ[ｎ]が１となる確率をｑ[ｎ]とする。

    (１)ｐ[ｎ]をｎを使ってあらわせ。

    (２)ｑ[１]、ｑ[２]の値を求めよ。

    (３)ｎ≧１のとき、ｑ[ｎ]とｑ[ｎ＋１]との間には漸化式が成り立つ。
    ｑ[ｎ＋１]＝　に続くかたちで表せ。

    (４)このとき、ｒ[ｎ]＝６＾(ｎ)*ｑ[ｎ]とおき、ｒ[ｎ]をｎで表せ。
    また、∑[ｎ＝１→∞]ｑ[ｎ]の値を求めよ。

    もしよろしければ、式のたてかたも教えて下さい。
    よろしくお願いします。



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■34939 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 確率！
□投稿者/ WIZ ファミリー(169回)-(2008/08/08(Fri) 03:58:50)
    (1)
    Y[n]が0でないためには毎回1～5が出れば良いので、確率は(5/6)^n
    よってp[n] = 1-(5/6)^n

    (2)
    Y[1] = 1となるためには、X[1] = 1であること、すなわち1回目に1～3が出れば良いので、
    q[1] = 3/6 = 1/2

    Y[2] = 1となるためには、X[1] = X[2] = 1であるか、またはX[1] = X[2] = -1であれば良い。
    すなわち、1回目と2回目の両方とも1～3が出るか、または1回目と2回目の両方とも4～5が出れば良いので、
    q[2] = (3/6)^2+(2/6)^2 = (1/2)^2+(1/3)^2 = 13/36

    (3)
    Y[n] = 1かつX[n+1] = 1、またはY[n] = -1かつX[n+1] = -1ならば、Y[n+1] = 1です。
    よってq[n+1] = q[n]*(3/6)+(1-p[n]-q[n])*(2/6) = q[n]/6+((5/6)^n)/3

    (4)
    r[n+1] = (6^(n+1))*q[n+1] = (6^n)*q[n]+2*(5^n) = r[n]+2*(5^n)
    ⇒ r[n+1]-(1/2)*(5^(n+1)) = r[n]+2*(5^n)-(1/2)*(5^(n+1)) = r[n]+(2-5/2)*(5^n) = r[n]-(1/2)*(5^n)

    よって{r[n]-(1/2)*(5^n)}は公比1の等比数列で、
    初項はr[1]-(1/2)*(5^1) = (6^1)*q[1]-5/2 = 6*(1/2)-5/2 = 1/2です。
    ⇒ r[n]-(1/2)*(5^n) = (1/2)*(1^(n-1)) = 1/2
    ⇒ r[n] = (1/2)*{(5^n)+1}

    ∑[n=1→∞]q[n] = ∑[n=1→∞]{r[n]/(6^n)} = ∑[n=1→∞]{(1/2)*{(5^n)+1}/(6^n)}
    = (1/2)*∑[n=1→∞]{(5/6)^n+(1/6)^n}
    = (1/2){(5/6)*(1-(5/6)^n))/(1-5/6)+(1/6)*(1-(1/6)^n)/(1-1/6)}
    = (1/2){5*(1-(5/6)^n)+(1/5)*(1-(1/6)^n)} = (1/2){26/5-5*((5/6)^n)-(1/5)*((1/6)^n)}
    = 13/5-(5/2)*((5/6)^n)-(1/10)*((1/6)^n)
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