| (1) Y[n]が0でないためには毎回1〜5が出れば良いので、確率は(5/6)^n よってp[n] = 1-(5/6)^n
(2) Y[1] = 1となるためには、X[1] = 1であること、すなわち1回目に1〜3が出れば良いので、 q[1] = 3/6 = 1/2
Y[2] = 1となるためには、X[1] = X[2] = 1であるか、またはX[1] = X[2] = -1であれば良い。 すなわち、1回目と2回目の両方とも1〜3が出るか、または1回目と2回目の両方とも4〜5が出れば良いので、 q[2] = (3/6)^2+(2/6)^2 = (1/2)^2+(1/3)^2 = 13/36
(3) Y[n] = 1かつX[n+1] = 1、またはY[n] = -1かつX[n+1] = -1ならば、Y[n+1] = 1です。 よってq[n+1] = q[n]*(3/6)+(1-p[n]-q[n])*(2/6) = q[n]/6+((5/6)^n)/3
(4) r[n+1] = (6^(n+1))*q[n+1] = (6^n)*q[n]+2*(5^n) = r[n]+2*(5^n) ⇒ r[n+1]-(1/2)*(5^(n+1)) = r[n]+2*(5^n)-(1/2)*(5^(n+1)) = r[n]+(2-5/2)*(5^n) = r[n]-(1/2)*(5^n)
よって{r[n]-(1/2)*(5^n)}は公比1の等比数列で、 初項はr[1]-(1/2)*(5^1) = (6^1)*q[1]-5/2 = 6*(1/2)-5/2 = 1/2です。 ⇒ r[n]-(1/2)*(5^n) = (1/2)*(1^(n-1)) = 1/2 ⇒ r[n] = (1/2)*{(5^n)+1}
納n=1→∞]q[n] = 納n=1→∞]{r[n]/(6^n)} = 納n=1→∞]{(1/2)*{(5^n)+1}/(6^n)} = (1/2)*納n=1→∞]{(5/6)^n+(1/6)^n} = (1/2){(5/6)*(1-(5/6)^n))/(1-5/6)+(1/6)*(1-(1/6)^n)/(1-1/6)} = (1/2){5*(1-(5/6)^n)+(1/5)*(1-(1/6)^n)} = (1/2){26/5-5*((5/6)^n)-(1/5)*((1/6)^n)} = 13/5-(5/2)*((5/6)^n)-(1/10)*((1/6)^n)
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