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■34915 / inTopicNo.1)

　微分・三角不等式

□投稿者/ 3a 付き人(79回)-(2008/08/07(Thu) 10:36:09)

a,b,cを実数とする。関数f(x)=ax^2+bx+cが0≦x≦1の範囲で、つねに|f(x)|≦1を満たすとき、
(1)f'(0)をf(0),f(1/2),f(1)を用いて表せ
(2)|f'(0)|≦8であることを証明せよ
(3)|f'(0)|=8となるときのf(x)を求めよ

という問題の(2)で三角不等式というものを使ってるのですが、これは自明で使っていいのですか？
また、(3)で等号成立条件の扱い方がよくわかりません。
どなたかお願いします。

(携帯)

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■34917 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 微分・三角不等式

▲▼■

□投稿者/ gucci 一般人(1回)-(2008/08/07(Thu) 12:50:28)

f=ax^2+bx+c
f'=2ax+b
f'(0)=b
f(0)=c
f(1/2)=(a+2b)/4+c
f(1)=a+b+c
4(f(1/2)-f(0))=a+2b
f(1)-f(0)=a+b
f'(0)=b=4{f(1/2)-f(0)}-{f(1)-f(0)}
=4{f(1/2)-f(1)-3f(0)}
|f(x)|≦1から
|f(1/2)|≦1
|f(0)|≦1
|f(1)|≦1
|f'(0)|≦4×1+1+3=8

|f'(0)|=8
となるのは、
f(1/2)=1
f(0)＝-1
f(1)=-１
のときだから
c=-1
b=4{f(1/2)-f(0)}-{f(1)-f(0)}=4{1-(-1)}-{(-1)-(-1)}=8
a= f(1)-f(0)-b=-b=-8

=4{f(1/2)-f(1)-3f(0)}
=4{f(1/2)-f(1)-3f(0)}
a+b=f(1)-f(0)=0
a+2b=4(f(1/2)-f(0))=8
b=8
a=-8
f(x)=-8x^2+8x-1

f'(0) =-8
となるのは、
f(1/2)=-1
f(0)＝1
f(1)=１
のときだから
c=1
b=4{f(1/2)-f(0)}-{f(1)-f(0)}=-8
a==8
f(x)=8x^2-8x+1

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■34932 / inTopicNo.3)

　Re:

▲▼■

□投稿者/ 3a 付き人(81回)-(2008/08/07(Thu) 21:56:06)

すいません。

下から15～18行目は何の変形でしょうか？

(携帯)

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