数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 教員採用試験2次問題･･･ / Page: 0]

数学ナビゲーター掲示板
(現在過去ログ4 を表示中)

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■34755 / inTopicNo.1)

　教員採用試験2次問題･･･

□投稿者/ 数学科非常勤講師一般人(1回)-(2008/07/31(Thu) 00:30:03)

(問題)
曲線21x^2+31y^2+10√(3)xy-144=0で囲まれる図形の面積を求めたい。次の各問に答えなさい。

(1) 与えられた曲線を、原点を中心としてθ(0≦θ≦π/2)回転させると2次曲線の標準形となる。θを求めなさい。

(2) 曲線で囲まれた図形の面積を求めなさい。

こちらの問題は2007年の福岡市の教員採用試験2次試験問題です。
高校時代に数学ⅢCを満足に学んでいなかったもので、どう展開していけばよいのかまったく分かりません･･･。

もしよろしければどなたかご教授いただけないでしょうか！？

宜しくお願いします。m(_ _)m

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■34758 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 教員採用試験2次問題･･･

▲▼■

□投稿者/ WIZ 軍団(135回)-(2008/07/31(Thu) 08:49:42)

反時計回りに図形を回転させるものとして回答します。
ベクトル(x,y)を反時計回りに角度θ回転したベクトルを(X,Y)とすると、
(X,Y) = (x*cos(θ)-y*sin(θ),x*sin(θ)+y*cos(θ))
となります。
よって(x,y)は(X,Y)を時計回りに角度θ回転したベクトルとなりますから
(x,y) = (X*cos(-θ)-Y*sin(-θ),X*sin(-θ)+Y*cos(-θ)) = (X*cos(θ)+Y*sin(θ),-X*sin(θ)+Y*cos(θ))
となります。

計算が煩雑になるので、c = cos(θ), s = sin(θ)とおきます。
x^2 = (Xc+Ys)^2 = XXcc+2XYcs+YYss
y^2 = (-Xs+Yc)^2 = XXss-2XYsc+YYcc
xy = (Xc+Ys)(-Xs+Yc) = -XXcs+XY(cc-ss)+YYsc

21x^2+31y^2+10√(3)xy-144 = 0
= 21(XXcc+2XYcs+YYss)+31(XXss-2XYsc+YYcc)+10(√3)(-XXcs+XY(cc-ss)+YYsc)-144
= XX(21cc+31ss-10(√3)cs)+YY(21ss+31cc+10(√3)sc)+XY(42cs-62sc+10(√3)(cc-ss))-144
= XX(21+10ss-10(√3)cs)+YY(21+10cc+10(√3)sc)+XY(-20sc+10(√3)(cc-ss))-144

上記でXYの係数が0であれば良いので、
-20sc+10(√3)(cc-ss) = 0
⇒ 10(√3)(2cc-1) = 20sc
⇒ 3(2cc-1)^2 = 4sscc
⇒ 3(4cccc-4cc+1) = 4(1-cc)cc
⇒ 12cccc-12cc+3 = 4cc-4cccc
⇒ 16cccc-16cc+3 = 0
⇒ cc = (8±√(8^2-16*3))/16 = (8±4)/16 = (2±1)/4
⇒ c = ±(√3)/2またはc = ±1/2

0 ≦ θ ≦ πとすれば、
cos(θ) = (√3)/2 ⇒ θ = π/6 ⇒ sin(θ) = 1/2
cos(θ) = -(√3)/2 ⇒ θ = 5π/6 ⇒ sin(θ) = 1/2
cos(θ) = 1/2 ⇒ θ = π/3 ⇒ sin(θ) = (√3)/2
cos(θ) = -1/2 ⇒ θ = 2π/2 ⇒ sin(θ) = (√3)/2

一般角としてはnを任意の整数として、
θ = 2nπ±π/6, 2nπ±5π/6, 2nπ±π/3, 2nπ±2π/3
です。

c = (√3)/2, s = 1/2とすれば、
144 = XX(21+10ss-10(√3)cs)+YY(21+10cc+10(√3)sc)
= XX(21+10((1/2)^2)-10(√3)((√3)/2)(1/2))+YY(21+10(((√3)/2)^2)+10(√3)(1/2)((√3)/2))
= XX(21+5/2-15/2)+YY(21+15/2+15/2)
= XX*(17)+YY*(36)
⇒ (X/(12/(√17)))^2+(Y/2)^2 = 1
これは長径 = 12/(√17), 短径 = 2の楕円です。
面積はπ*(12/(√17))*2 = 24π/(√17)

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■34759 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 教員採用試験2次問題･･･

▲▼■

□投稿者/ d 一般人(4回)-(2008/07/31(Thu) 09:04:46)

■No34755に返信(数学科非常勤講師さんの記事)

> 高校時代に数学ⅢCを満足に学んでいなかったもので、どう展開していけばよいのか
多様な発想で解けます
参考まで;

288×383 => 188×250

1217462686.gif/4KB

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■34766 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 教員採用試験2次問題･･･

▲▼■

□投稿者/ KM 一般人(1回)-(2008/07/31(Thu) 16:23:20)
http://www1.bbiq.jp/k_miyaga

= XX(21+5/2-15/2)+YY(21+15/2+15/2)

の部分に計算ミスがあるようです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■34767 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 教員採用試験2次問題･･･

▲▼■

□投稿者/ WIZ 軍団(138回)-(2008/07/31(Thu) 17:31:44)

KMさん、ご指摘ありがとうございます。

> = XX(21+5/2-15/2)+YY(21+15/2+15/2)
> の部分に計算ミスがあるようです。

数学科非常勤講師さん、申し訳ありません。訂正します。

c = (√3)/2, s = 1/2とすれば、
144 = XX(21+10ss-10(√3)cs)+YY(21+10cc+10(√3)sc)
= XX(21+10((1/2)^2)-10(√3)((√3)/2)(1/2))+YY(21+10(((√3)/2)^2)+10(√3)(1/2)((√3)/2))
= XX(21+5/2-15/2)+YY(21+15/2+15/2)
= XX*16+YY*36
⇒ (X/3)^2+(Y/2)^2 = 1
これは長径 = 3, 短径 = 2の楕円です。
面積はπ*3*2 = 6π

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■34815 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 教員採用試験2次問題･･･

▲▼■

□投稿者/ 数学科非常勤講師一般人(2回)-(2008/08/02(Sat) 03:40:32)

返信が大変遅くなり、申し訳ございません！m(_ _)m

WIZさん，dさん，KMさん　ご教授ありがとうございます！！

WIZさんの解答を見ながら自分で紙に書いて学習しました！
最初，なぜ
> ベクトル(x,y)を反時計回りに角度θ回転したベクトルを(X,Y)とすると、
> (X,Y) = (x*cos(θ)-y*sin(θ),x*sin(θ)+y*cos(θ))
> となります。
となるのかが分からなかったのですが，これは回転行列なんですよね！？
ここのトップページの「回転行列」の記述を見て理解しました！！

しかし，そこでまた何点か質問したいのですが･･･。

①
> 上記でXYの係数が0であれば良いので、
> -20sc+10(√3)(cc-ss) = 0

とは，何故なのですか･･･？
これは問題文の2次曲線の標準形というのに関係があるのでしょうか･･･？

②
d さんの
> 多様な発想で解けます
> 参考まで;

添付して下さっている図形の赤の曲線は「曲線21x^2+31y^2+10√(3)xy-144=0」を表しているのですよね！？

「多様な発想」とは例えば他にどのような発想があるのでしょうか･･･？

③
この様な問題は教科書や問題集，参考書などのどの分野を学習すると解けるようになるのでしょうか･･･？
問題集や参考書はけっこう持ってる方とは思うのですが(←宝の持ち腐れ)，似たような問題がなくて(←おそらく探しきれてないだけ)･･･。

お手数をおかけしますが，是非またよろしくお願いします。m(_ _)m

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■34820 / inTopicNo.7)

　Re[5]: 教員採用試験2次問題･･･

▲▼■

□投稿者/ WIZ 軍団(146回)-(2008/08/02(Sat) 10:36:27)

>> 上記でXYの係数が0であれば良いので、
>> -20sc+10(√3)(cc-ss) = 0
>
> とは，何故なのですか･･･？
> これは問題文の2次曲線の標準形というのに関係があるのでしょうか･･･？

ご察しの通り、2次曲線の標準形に変形するためです。
A(θ)*X^2+B(θ)*X*Y+C(θ)*Y^2+D = 0という形から、B(θ) = 0となるように回転(θ)を決定すれば
A(θ)*X^2+C(θ)*Y^2+D = 0という標準形になりますよね?

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■34822 / inTopicNo.8)

　Re[2]: 教員採用試験2次問題･･･

▲▼■

□投稿者/ d 一般人(5回)-(2008/08/02(Sat) 12:21:53)

■No34759に返信(dさんの記事)

> 多様な発想で解けます
> 参考まで;
>
たとえば
添付のように、２次超曲面にも通じる、主軸問題として
固有空間を求め。

812×471 => 250×145

1217647313.gif/9KB

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■34843 / inTopicNo.9)

　Re[3]: 教員採用試験2次問題･･･

▲▼■

□投稿者/ 数学科非常勤講師一般人(3回)-(2008/08/02(Sat) 23:17:19)

WIZ さん，d さん
早速の返信ありがとうございます！！

あれからお二方の解答や返信とにらめっこしながら自分でも家にあるあらゆる書物を引っ張り出してきて調べた結果ようやく理解できました！！

しかも，これは線形代数の分野ですね！
どーりで高校の問題集や参考書にはないはず･･･。
線形代数の教科書には載ってましたね･･･！(^o^;

今回久しぶりに大学時代の教科書を見て頭をフル回転させました･･･！

解決済み!

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■34849 / inTopicNo.10)

　はあ

▲▼■

□投稿者/ x 一般人(1回)-(2008/08/03(Sun) 19:50:17)

数学ⅢCを十分に学んでないのに、数学教師などになる資格はない！
こういう、いい加減な教師が増えるから日本の数学教育は悪化しているのだ。

(携帯)

解決済み!

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■34851 / inTopicNo.11)

　Re[2]: はあ

▲▼■

□投稿者/ 数学科非常勤講師一般人(4回)-(2008/08/03(Sun) 23:31:00)

■No34849に返信(xさんの記事)
> 数学ⅢCを十分に学んでないのに、数学教師などになる資格はない！
> こういう、いい加減な教師が増えるから日本の数学教育は悪化しているのだ。
>
> (携
お言葉ですが、中学生に教える実力は充分にあります！

たとえ難関高受験でも数ⅢCの知識は必要ありません！

あなたは何を根拠にそういうこと言っているのですか？？

私は現場で働いていますが今のところ中学の現役教師で高校数学をフルに活用出来る人は見たことないですよ！

あなたは何故かわかりますか？？

それは「使わない」からです！

私は純粋に数学が好きでもっとたくさんの知識を蓄えたいからここにいらっしゃる偉大な方々に知恵や知識をもらい勉強しているのです！

文部科学省が提示している教師像をあなたはご存知ですか？

「公務員としての自覚と高い倫理観、教育者としての情熱と強い使命感を持つ人」
というようなことが言われておりますが、私は純粋にこれをまっとうしています！

こういうことを言うあなたは教育にはまったくの素人の人間とうかがえますが、そのような人が適当なことを言わないで下さい。

匿名性を利用したサイトでの書き込みでこのようなことをするあなたは、まさに学校現場で起きている一部の心無い中学生と同じですね･･･。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■34854 / inTopicNo.12)

　はあ

▲▼■

□投稿者/ x 一般人(2回)-(2008/08/04(Mon) 09:14:13)

まわりと比べてどうなれのだ。オヌシ世界が狭いのー。
高校数学ができない教師など不要。高校生でも中学生に教えれるよ。
本質的なことも、高校生のほうが語れる。

つか、文部科学省の教育に疑問を抱かないのが問題。
文部科学省の信者かよー笑

まあ君はむりふよう出直せ

(携帯)

解決済み!

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■34855 / inTopicNo.13)

　あは

▲▼■

□投稿者/ x 一般人(3回)-(2008/08/04(Mon) 09:19:59)

使わないんじゃなくて、お前の場合は使えないだけだろ。

高校で教えれないから中学に逃げてきたんだろー。カワイソス。

まあ、このようなやり取りじゃ、教師は無理だな。暴行でもして懲戒免職になっちゃうタイプダヨナ。もしくはセクハラで訴えられるな。

(携帯)

解決済み!

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■34856 / inTopicNo.14)

　Re[2]: あは

▲▼■

□投稿者/ 数学科非常勤講師一般人(5回)-(2008/08/04(Mon) 13:21:44)

あなたのような子供とここで討論する自分が愚かだった･･･。

まぁせいぜい好きに言って下さい！！

少なくともここにいらっしゃる偉大な方々でそのようなお子供様的なコメントをする方はいませんからね･･･

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■34857 / inTopicNo.15)

　Re[3]: あは

▲▼■

□投稿者/ Ｎ付き人(91回)-(2008/08/04(Mon) 13:58:27)

＞数学科非常勤講師さん

一言だけ失礼します。
教師になることを目指しているとお見受けします。
教師になったら、冷静になる必要もあるかと思います。
ご自身に、確固たる信念があればそれで十分ではないですか。
教育のことを知らないと、理解できないことがありますからね。いちいちそのような声を真に受けていたら、体がもちませんよ。

また、教師は日々勉強が必要でしょう。
もし、現在自分に至らないことがあっても、成長していく決意があれば、それは問題ではないですね。
また、教師は人を伸ばす職業である故、人にものを教えるとともに、人の可能性を潰さない職業ですね。

と、偉そうに失礼しました。お気を悪くしないでください。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■34859 / inTopicNo.16)

　Re[4]: あは

▲▼■

□投稿者/ 数学科非常勤講師一般人(6回)-(2008/08/04(Mon) 15:45:26)

> N さん

ありがとうございます！最初は「むっ」と思いベタ打ちで自分の想いを投稿してしまいました。しかし冷静になるとそのような人を相手にすることが時間の無駄ですよね･･･。そんな時間があれば知らない定理を覚えたり問題を解いたりする方がもっと有意義に思えました。

> また、教師は日々勉強が必要でしょう。

まさにその通りと私も考えております。
現在、学生でない私の周りに高度な数学を教えてくれる方はいませんが、そのとき困った問題等をここで質問させて頂いて日々成長させて頂いております。
どうぞこれからも宜しくお願い致します。m(_ _)m

> と、偉そうに失礼しました。お気を悪くしないでください。

とんでもありません！！Nさんは当然の事を言っていると思います。
気を悪くするどころか暖かいお言葉を頂いて感謝しております！

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■34861 / inTopicNo.17)

　Re[1]: 教員採用試験2次問題･･･

▲▼■

□投稿者/ ken 一般人(1回)-(2008/08/04(Mon) 18:58:16)

$2$ A = \left( {\begin{array}{c} {21} & {5\sqrt 3 } \\ {5\sqrt 3 } & {31} \\ \end{array}} \right)$
$2$ X = \left( {\begin{array}{c} x \\ y \\ \end{array}} \right)$
とおくと、
$2$ \left( {\begin{array}{c} x & y \\ \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{c} {21} & {5\sqrt 3 } \\ {5\sqrt 3 } & {31} \\ \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{c} x \\ y \\ \end{array}} \right) = 144$

$2$ X^T AX = 144$

固有方程式は
$2$ \lambda ^2 - 52\lambda + {\rm 576 = 0}$
$2$ (\lambda - 36)(\lambda - 16) = 0$
$2$ \lambda = 16,\lambda = 36$

$2$ A - \lambda E = 5\left( {\begin{array}{c} 1 & {\sqrt 3 } \\ {\sqrt 3 } & 3 \\ \end{array}} \right),5\left( {\begin{array}{c} { - 3} & {\sqrt 3 } \\ {\sqrt 3 } & { - 1} \\ \end{array}} \right)$
固有ベクトルをｐとすると

$2$ p = \frac{{\rm 1}}{{\rm 2}}\left( {\begin{array}{c} {\sqrt 3 } \\ { - 1} \\ \end{array}} \right),\frac{{\rm 1}}{{\rm 2}}\left( {\begin{array}{c} 1 \\ {\sqrt 3 } \\ \end{array}} \right)$

回転角は、-π/3,π/6

$2$ P = \frac{1}{2}\left( {\begin{array}{c} 1 & {\sqrt 3 } \\ {\sqrt 3 } & { - 1} \\ \end{array}} \right)$

$2$ P^{ - 1} = P^T = \frac{1}{2}\left( {\begin{array}{c} 1 & {\sqrt 3 } \\ {\sqrt 3 } & { - 1} \\ \end{array}} \right)$

$2$ B = P^{ - 1} AP = \left( {\begin{array}{c} {36} & 0 \\ 0 & {16} \\ \end{array}} \right)$

$2$ Z^T BZ = 144$

$2$ 36x^{\rm 2} + 16y^2 = 144$

$2$ \left( {\frac{x}{2}} \right)^2 + \left( {\frac{y}{3}} \right)^2 = 1$

$2$ S = 6\pi$

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■34862 / inTopicNo.18)

　Re[3]: 教員採用試験2次問題･･･

▲▼■

□投稿者/ d 一般人(6回)-(2008/08/04(Mon) 22:29:22)

2008/08/05(Tue) 07:57:51 編集(投稿者)

■No34822に返信(dさんの記事)
> ■No34759に返信(dさんの記事)
>
>>多様な発想で解けます
>>参考まで;
>>
> たとえば
> 添付のように、２次超曲面にも通じる、主軸問題として
> 固有空間を求め。
>

In[7]:=
eqn = {λ*D[f[x, y], x] == D[g[x, y], x],
λ*D[f[x, y], y] == D[g[x, y], y],
g[x, y] == 0}

Out[7]=
{2*x*λ == 42*x + 10*Sqrt[3]*y,
2*y*λ == 10*Sqrt[3]*x + 62*y,
-144 + 21*x^2 + 10*Sqrt[3]*x*y +
31*y^2 == 0}

In[8]:=
soln = Solve[eqn, {x, y, λ}]

Out[8]=
{{λ -> 16, x -> -((3*Sqrt[3])/2),
y -> 3/2}, {λ -> 16,
x -> (3*Sqrt[3])/2, y -> -(3/2)},
{λ -> 36, x -> -1, y -> -Sqrt[3]},
{λ -> 36, x -> 1, y -> Sqrt[3]}}
-----------------------------------
なる発想でも　固有値、固有vector,達が求められます。

732×459 => 250×156

1217856562.gif/7KB

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■34889 / inTopicNo.19)

　Re[4]: 教員採用試験2次問題･･･

▲▼■

□投稿者/ 数学科非常勤講師一般人(7回)-(2008/08/06(Wed) 03:11:58)

返信大変遅くなり申し訳ありません･･･。m(_ _)m

d さん，ken さん　ご解答ありがとうございます！！

ken さんの解答を頂いてまたまた線形代数の教科書と先程までにらめっこしてました･･･(^^;
でも50%くらいしか理解できませんでした･･･。

やはり線形代数を最初からしっかり学んでいないと難しいですね･･。

d さんの解法はこれはプログラムなのでしょうか･･･？？
勉強不足で申し訳ございませんm(_ _)m

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

トピック内ページ移動 / << 0 >>

このトピックに書きこむ

過去ログには書き込み不可

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター