 | 2008/07/31(Thu) 19:19:28 編集(投稿者)
>>そこから求める体積をだす場合、かなりめんどくさいですか？
どのように計算するにしても
V=∫Sdu
(S:断面の楕円の面積、u:断面に垂直な座標軸)
の形に持っていくことに違いはありません。
>>また、y=x+l～
断面積の正射影を考えて積分する方針はいいのですが立式を誤っています。
>>∫[0→3/4]S'×(l/√2)dl
で
>>(l/√2)
をかけている根拠と
S'=π(t+1/2)^2 (A)
としている根拠が不明です。
(A)について。
No.34713で示した問題の立体の底面の楕円の面積Sを計算すると
S=π/√2
これのzx平面に関する正射影の面積をS'とすると
S'=Scos45°=π/2
これは(A)でt=0のときの値と合いません。
正射影を使う方針だと以下のようになります。
(但し、これは問題の断面の楕円のzx平面に対する正射影が円になることが
使えることを前提にしています。)
問題の立体の
平面y=x+l
による断面の楕円の軸の一つは
直線y=x+l,z=0 (B)
の
放物線y=-x^2+3/4,z=0 (C)
によって切られる線分になります。
この長さをL,(B)(C)の交点のx座標をα、βとすると
L^2=(β-α)^2+{(β+l)-(α+l)}^2
=2(β-α)^2 (D)
又α、βは(B)(C)から得られる、xの二次方程式
x^2+x+l-3/4=0
の解ですので解と係数の関係から
α+β=-1 (E)
αβ=l-3/4 (F)
(E)(F)を(D)に用いると
L^2=2(4-4l)
よってこの断面のzx平面への正射影である円の半径をrすると
r=(L/2)cos45°=L/(2√2)
であることから正射影の面積をS'とすると
S'=πr^2=(π/8)L^2
=π(1-l)
∴断面の面積をSとするとSに対する微小体積dVは
dV=S(cos45°)dl
((∵)断面に垂直な直線とy軸とのなす角は45°ゆえ、
dVに当たる図形の高さは
(cos45°)dl)
=(S'/cos45°)(cos45°)dl
=S'dl
=π(1-l)dl
(B)(C)が交点を持つ条件から
0≦l≦1
であることに注意して求める体積をVとすると
V=∫[0→1]π(1-l)dl=π/2
となります。
(何かややこしい議論の割りに最後の積分の式がやたらに簡単なのが不安ですが。)
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