数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 微分 / Page: 0]

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■34651 / inTopicNo.1)

　微分

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□投稿者/ あい一般人(1回)-(2008/07/25(Fri) 23:44:11)

x≧1のとき
xlogx≧（x－1）log（x＋1）をしめせ

この問題の解法おしえてください。宜しくお願いします。

(携帯)

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■34654 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 微分

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□投稿者/ WIZ 軍団(119回)-(2008/07/26(Sat) 08:12:39)

f(x) = x*log(x)-(x-1)*log(x+1)とおきます。
f'(x) = log(x)+x*(1/x)-log(x+1)-(x-1){1/(x+1)} = log(x)-log(x+1)+2/(x+1)
f''(x) = 1/x-1/(x+1)+(-2)/((x+1)^2) = 1/x+(x-1)/((x+1)^2)

x ≧ 1のときf''(x) > 0となりますから、f'(x)は増加です。
f'(1) = 1-log(2) > 0ですので、x ≧ 1のときf'(x) > 0であることが分かります。
よって、x ≧ 1のときf(x)は増加で、f(1) = 0ですから、x ≧ 1のときf(x) ≧ 0が分かります。

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■34664 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 微分

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□投稿者/ らすかる大御所(374回)-(2008/07/26(Sat) 16:32:38)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

＞x ≧ 1のときf''(x) > 0となりますから、f'(x)は増加です。

計算間違いがあるようです。
f''(x)＜0 ですから f'(x)は減少です。

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■34665 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 微分

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□投稿者/ WIZ 軍団(120回)-(2008/07/26(Sat) 17:39:04)

> 計算間違いがあるようです。

らすかるさん、ご指摘ありがとうごさいます。

> f''(x) = 1/x-1/(x+1)+(-2)/((x+1)^2) = 1/x+(x-1)/((x+1)^2)
> x ≧ 1のときf''(x) > 0となりますから、f'(x)は増加です。

f''(x) = 1/x-1/(x+1)+(-2)/((x+1)^2) = 1/x-(x+3)/((x+1)^2)
= {(x+1)^2-x*(x+3)}/(x*(x+1)^2) = (-x-2)/(x*(x+1)^2)

x ≧ 1のときf''(x) < 0となりますから、f'(x)は減少です。

f'(1) = 1-log(2) > 0です。
lim[x→∞]f'(x) = lim[x→∞]{log(x)-log(x+1)+2/(x+1)}
= lim[x→∞]{log(x/(x+1))+2/(x+1)} = log(1) = 0

以上から、x ≧ 1のときf'(x) > 0であることが分かります。

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■34666 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 微分

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□投稿者/ らすかる大御所(375回)-(2008/07/26(Sat) 18:31:25)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

まだ計算間違いがあるみたいです。
f''(x)=1/x-1/(x+1)+(-2)/((x+1)^2)=(1-x)/(x*(x+1)^2)
となりますね。

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■34671 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 微分

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□投稿者/ WIZ 軍団(121回)-(2008/07/26(Sat) 21:12:58)

らすかるさん、再度ご指摘感謝します。
先程書き忘れました。あいさん間違った式を書き込んでしまい申し訳ありませんでした。
f''(x)については、らすかるさんが示された式が正しいようです。
# 結論は変わらないと思いますけど(←負け惜しみ)

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■34678 / inTopicNo.7)

　Re[1]: 微分

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□投稿者/ だるまにおん付き人(73回)-(2008/07/27(Sun) 13:27:17)

$2$ x \log x \geq (x-1) \log (x+1) \Longleftrightarrow \frac{\log x}{x-1} \geq \frac{\log (x+1)}{x}$ なので $2$\frac{\log (x+1)}{x}$ が単調減少であることを示せば十分だが、これは $2$(0,0)$ と $2$(x,\log (x+1))$ を結ぶ直線の傾きと考えれば、微分要らず(?)

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