 | Xさんへ
> ４次方程式の解の判別式は定義されていないと思います。
そんなことはありません。
判別式とは方程式の解の積差の平方です。
積差は解の交替式ですが、積差の平方は解の対称式となり、
方程式の係数から四則演算で計算できる量となります。
(1)
Xさんの回答の通りです。
(2)
(1)で求めた4次方程式は複2次方程式なので、解をa,-a,b,-bとおくと
判別式D = {(a-(-a))(a-b)(a-(-b))(-a-b)(-a-(-b))(b-(-b))}^2
= {(2a)(a-b)(a+b)(a+b)(a-b)(2b)}^2
= 4(a^2)(b^2)(a^2-b^2)^2
= 4(a^2)(b^2){(a^2+b^2)^2-4(a^2)(b^2)}
解と係数の関係から、a^2+b^2 = r^2, (a^2)(b^2) = (12-5r^2)^2/4ですから、
D = 4*(12-5r^2)^2/4*{r^4-4*(12-5r^2)^2/4}
= (12-5r^2)^2*{(r^2-(12-5r^2))(r^2+(12-5r^2))}
= (12-5r^2)^2*{(6r^2-12)(-4r^2+12)}
= 24(5r^2-12)(r^2-2)(r^2-3)
(3)
r = ±2√(3/5), ±√2, ±√3
(4)
(1)の(a)(b)はx,yの対称式ですので、yを消去したxのみ方程式(1)と
xを消去したyの方程式は同じになり、x,yは方程式(1)の解になります。
但し(c)より、y^2 = r^2-x^2です。
r = ±2√(3/5)の場合、r^2 = 12/5
4x^4-4(12/5)(x^2)+(12-5*12/5)^2 = 0
= 4x^4-(48/5)(x^2)
= 4(x^2)(x^2-12/5)
⇒ (x,y) = (0,±2√(3/5)), (±2√(3/5),0)
r = ±√2の場合
4x^4-4(2)(x^2)+(12-5*2)^2 = 0
= 4x^4-8x^2+4
= 4(x^-1)^2
⇒ (x,y) = (±1,±1) (複合任意)
r = ±√3の場合
4x^4-4(3)(x^2)+(12-5*3)^2 = 0
= 4x^4-12x^2+9
= (2x^-3)^2
⇒ (x,y) = (±√(3/2),±√(3/2)) (複合任意)
# 計算間違いをしていたらごめんなさい。
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