 | # 厳密な説明ではないです。
> どうして「xが十分小さいときは負、十分大きいときは正」だから
y' = 4x^3-12(a-1)x^2+4(a^2-1)xです。
x ≠ 0のとき、y' = (4x^3){1-3(a-1)/x+(a^2-1)/x^2}です。
よってlim[x→-∞]y' = -∞*1となり、xが十分小さいとき
(xが負で、絶対値が十分大きいとき)y' < 0となることがイメージできると思います。
またlim[x→+∞]y' = +∞*1から、xが十分大きいときy' > 0となることが
イメージできると思います。
# y'は3次関数でしたが、奇数次関数であれば同じことが言えます。
> 「y'が異なる３つのxで0になることが必要十分である。」っていえるのでしょうか？
偶数次関数は(xの)最高次係数が正であれば、必ず下に凸な極値すなわち極小を持ちます。
# 下に凸な2次関数(放物線)をイメージしてください。
これは「(y'が奇数次関数だから)xが十分小さいときは負、十分大きいときは正」であるため
y'のグラフは必ずx軸と交わること、すなわちy' = 0を満たす実数x = αが必ず1つは存在し、
x = αの前後でy'が負から正に符号が変わるので、このx = αでyは極小をとるといえます。
(xの)最高次係数が正である偶数次関数が極大を持つためには、上記の極小となる x = α以外
の実数でy' = 0を満たす重解でない実数解x = βが必要です。
(x = βが重解だと、x = βの前後でy'の符号は変化せず、x = βはyの変曲点となってしまうため。)
3次方程式y' = 0は3つの解を持ちますが、y' = 0は実数係数で、解の内2個x = αとx = βが
実数ですから、他の解x = γも実数となります。
x = αとx = βはyの極値となるので、y' = 0の重解でありません。
よってα,β,γは相異なる実数である必要があります。
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