| y' = 4x^3-12(a-1)x^2+4(a^2-1)x = 0が相異なる3つの実数解を持つ必要がある というのは理解できたのですよね?
y' = 4x{x^2-4(a-1)x+(a^2-1)}ですから、x = 0はy' = 0の解の一つです。 よって他の2解は0以外でなくてはなりません。
他の2解は2次方程式x^2-4(a-1)x+(a^2-1) = 0の解ですから、 よって上記の2次方程式は0以外の異なる実数解を持つ必要があります。
2次方程式の2解をα,βとすると、 x^2-4(a-1)x+(a^2-1) = (x-α)(x-β) = x^2-(α+β)x+αβ となります。係数を比較して、a^2-1 = αβです。 α ≠ 0, β ≠ 0よりa^2-1 ≠ 0といえます。
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