数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 体積 / Page: 0]

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■34407 / inTopicNo.1)

　体積

□投稿者/ 真江一般人(1回)-(2008/07/18(Fri) 16:25:37)

お願い致します。
y=x^nとy=xで囲まれた領域D(n) を　 y=x　を軸として
回転したときの体積をV(n)とする。
次の各場合に　回転体の体積を　　直接に　また　間接的に　求めてください
V(3)=__________
V(4)=__________
V(5)=__________
V(6)=__________

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■34411 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 体積

▲▼■

□投稿者/ ウルトラマン一般人(1回)-(2008/07/18(Fri) 19:54:46)

真江さん，こんばんわ。
> お願い致します。
> y=x^nとy=xで囲まれた領域D(n) を　 y=x　を軸として
> 回転したときの体積をV(n)とする。
> 次の各場合に　回転体の体積を　　直接に　また　間接的に　求めてください
> V(3)=__________
> V(4)=__________
> V(5)=__________
> V(6)=__________
>
>

線分 $2$L:y=x(0\leq x\leq 1)$ 上の任意の点 $2$P(t,t)(0\leq t\leq 1)$ を通り， $2$y$ 軸に並行な直線と曲線 $2$C:y=x^{n}$ との交点を $2$Q(t,t^{n})$ ， $2$Q$ から $2$L$ に下ろした垂線の足を $2$H$ とすると，直線 $2$OH$ の方程式は，
$2$ y-t^{n}=-(x-t)\Longleftrightarrow y=-x+t+t^{n}$
より，これと $2$L$ の式を連立して，
$2$ H\displaystyle \left(\frac{t+t^{n}}{2},\frac{t+t^{n}}{2}\right) \\ \therefore OH=\frac{\sqrt{2}}{4}(t+t^{n})$
だから，求める体積は $2$A(1,1)$ として，
$2$ V(n) = \displaystyle\int_{0}^{OA}\pi(QH)^{2}d(OH) \\ =\displaystyle\int_{0}^{1}\pi\left{PQ\cos (\pi/4)\right}^{2}\frac{d(OH)}{dt}dt \\ =\displaystyle\int_{0}^{1}\pi\left{(t^{n}-t)\frac{1}{\sqrt{2}}\right}^{2}\frac{\sqrt{2}}{4}(1+nt^{n-1})dt \\ =\cdots$

となります。この続きの計算はちょっとやってみてください。

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■34419 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 体積

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□投稿者/ 真江一般人(2回)-(2008/07/18(Fri) 23:04:15)

■No34411に返信(ウルトラマンさんの記事)

> となります。この続きの計算はちょっとやってみてください。
>
ありがとう御座います。

例えば　　n=　3,　4の場合
間接的に　y=x^n を　-45度回転し　求めて、上と合うか　教示ください；

y-x^3=0 を-45度回転すると　____________________________=0
これを yについて解きy=

y-x^4=0 を-45度回転すると　____________________________=0
これを yについて解きy=

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■34421 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 体積

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□投稿者/ 昆一般人(2回)-(2008/07/19(Sat) 00:26:09)

これって、ｎが奇数のときｙ＜０の部分も考えるのかな?
まっ、2倍するだけだけど。

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■34499 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 体積

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□投稿者/ ウルトラマン一般人(2回)-(2008/07/21(Mon) 09:42:29)

真江さん，こんばんわ。

>
> 例えば　　n=　3,　4の場合
> 間接的に　y=x^n を　-45度回転し　求めて、上と合うか　教示ください；
>
> y-x^3=0 を-45度回転すると　____________________________=0
> これを yについて解きy=
>
>
>
> y-x^4=0 を-45度回転すると　____________________________=0
> これを yについて解きy=
>
>

$2$y=x^{n}$ を原点のまわりに $2$45$ 度回転して得られた図形の方程式は陰関数となるため， $2$y$ について解くことは出来ません。 $2$45$ 回転をして体積を求めるには， $2$y=x^{n}$ を
$2$ x=t,\quad y=t^{n},(0\leq t\leq 1)$
とパラメータ表示して，これを $2$45$ 度回転した方が簡単です。具体的には，
$2$ \left( \begin{array}{l} X \\ Y \end{array} \right) =\left( \begin{array}{ll} -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} t \\ t^{n} \end{array} \right) \\ \Longleftrightarrow X = -\frac{1}{\sqrt{2}}(t-t^{n}),\quad Y = \frac{1}{\sqrt{2}}(-t+t^{n})$
だから，これを $2$x$ 軸の周りに回転してできた立体の体積は
$2$ V(n) = \displaystyle\int_{0}^{\sqrt{2}}\pi Y^{2}dX \\ =\displaystyle\int_{0}^{1}\pi Y^{2}\frac{dX}{dt}dt \\ =\cdots$
となります。 $2$\cdots$ の部分は自分で計算してみてください。

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■34502 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 体積

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□投稿者/ .真江一般人(1回)-(2008/07/21(Mon) 12:15:43)

y-x^3=0 を-45度回転すると　;
x/Sqrt[2] - x^3/(2*Sqrt[2]) + y/Sqrt[2] +(3*x^2*y)/(2*

Sqrt[2]) - (3*x*y^2)/(2*Sqrt[2]) + y^3/(2*Sqrt[2])=0
が添付の図です。

これを yについて解き(叶う) y=__________________________________.
x軸のまわりに回転し,
回転体の体積=__________________.

381×317 => 250×208

1216610143.gif/4KB

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