数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 行列の方程式（出典「大学への数学・１対１対応・数学Ｃ編」） / Page: 0]

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■34345 / inTopicNo.1)

　行列の方程式（出典「大学への数学・１対１対応・数学Ｃ編」）

□投稿者/ ゆう一般人(1回)-(2008/07/16(Wed) 18:05:43)

行列の方程式（出典「大学への数学・１対１対応・数学Ｃ編」）の17頁で扱われている問題

『行列 $2$A= \left( {\begin{array} a & b \\ c & d \\ \end{array}} \right)$ が $2$A^{2}-5A+6E=0$ を満たすとき、 $2$a+d$ と $2$ad-bc$ の組を求めよ』

で、解答には、「ケーリーハミルトンの式と安直に係数比較しないこと」と書かれているのですが、
その理由に、「ケーリーハミルトンの式と係数比較しても、確かに条件は満たすが、それ以外にも条件を満たす可能性があるからである」という風にしか記載がなく、
また、その具体例にも係数比較からでは得られない行列 $2$ \left( {\begin{array} 2 & 0 \\ 0 & 2 \\ \end{array}} \right)$ 、 $2$ \left( {\begin{array} 3 & 0 \\ 0 & 3 \\ \end{array}} \right)$
を挙げてるだけで、「何故係数比較以外からでも求めることができるのか？」の記載がありません。

私は、具体例にもあるように、行列の成分の0が係数比較では得られないものを作り出しているのかな？とも思うんですが・・・。。。

解答をきちんと理解したいと思いまして今回質問させていただきました。
どなたか御解答よろしくお願いします。

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■34346 / inTopicNo.2)

　Re[1]:

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□投稿者/ 紀哲一般人(1回)-(2008/07/16(Wed) 18:28:05)

$2$A^{2}-5A+6E=0$

$2$(A-2E)(A-3E)=0$
だから
$2$A-2E=0$

$2$A-3E=0$
すなわち
$2$A=2E$

$2$A=3E$
のときも
$2$A^{2}-5A+6E=0$
となるが、
a+d=5 ad-bc=6
ではない
ということ
$2$A^{2}-5A+6E=0$
が最小多項式なら係数を比較して
a+d=5 ad-bc=6
となる。

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■34356 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 行列の方程式（出典「大学への数学・１対１対応・数学Ｃ編」）

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(500回)-(2008/07/16(Wed) 20:12:01)

2008/07/16(Wed) 20:15:36 編集(投稿者)

■No34345に返信(ゆうさんの記事)
> 『行列 $2$A= \left( {\begin{array} a & b \\ c & d \\ \end{array}} \right)$ が $2$A^{2}-5A+6E=O$ を満たすとき、 $2$a+d$ と $2$ad-bc$ の組を求めよ』
> で、解答には、「ケーリーハミルトンの式と安直に係数比較しないこと」と書かれているのですが、
> その理由に、「ケーリーハミルトンの式と係数比較しても、確かに条件は満たすが、それ以外にも条件を満たす可能性があるからである」という風にしか記載がなく、
$2$A^2-5A+6E=O$ …①
ケーリーハミルトンの式 $2$A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O$ …②
について
①-②： $2$(a+d-5)A=(ad-bc-6)E$
ここで
a+d＝5 であれば ad-bc＝6
a+d≠5 であれば $2$A=\frac{ad-bc-6}{a+d-5}E=kE$ となり
　　①より $2$(k^2-5k+6)E=O$ すなわち k＝2,3 で
　　k＝2 のとき $2$A=2E$ で a+d＝4, ad-bc＝4
　　k＝3 のとき $2$A=3E$ で a+d＝6, ad-bc＝9
という３通りが存在します。

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