 | WIZさんご意見ありがとうございます。
ζ(2) = -∫[0,1]{log(1-x)/x}dxという式は正しいということですね！
WIZさんの0 ≦ x ≦ 1の時のΣ[k=1,∞]x^(n-1) = 1/(1-x)という式変形が
少し乱暴と書かれていていますが、自分の計算方法は安全でしょうか？
話は変わりますが、実は別の掲示板でも質問したことがあるのですが
0 ≦ a ≦ 1として∫[0,a]{log(1-ay)/(ay)}dyが計算できれば
ζ(3)を広義定積分で表すことができそうです。
以下のように考えたのですがご意見ください。
f(x,y,z) = Σ[k=1,∞](xyz)^(k-1)として
広義定積分J = ∫[x=0,1]{∫[y=0,1]{∫[z=0,1]f(x,y,z)dz}dy}dxを考えます。
J = ∫[x=0,1]{∫[y=0,1]{∫[z=0,1](Σ[k=1,∞](xyz)^(k-1))dz}dy}dx
= ∫[x=0,1]{∫[y=0,1]{Σ[k=1,∞]([((xy)^(k-1))*(z^k)/k]_[z=0,1])}dy}dx
= ∫[x=0,1]{∫[y=0,1]{Σ[k=1,∞]((xy)^(k-1))/k}dy}dx・・・・・・・・・・・・・・・(1)
= ∫[x=0,1]{[Σ[k=1,∞]([(x^(k-1))*(y^k)/(k^2)]_[y=0,1])}dx
= ∫[x=0,1]{Σ[k=1,∞]((x^(k-1))/(k^2))}dx・・・・・・・・・・・・・・・(2)
= Σ[k=1,∞]([(x^k)/(k^3)]_[x=0,1])
= Σ[k=1,∞](1/(k^3)) = ζ(3)
(1)から別の計算方法をとると
J = ∫[x=0,1]{∫[y=0,1]{-log(1-xy)/(xy)}dy}dx・・・・・・・・・・・・・・・(3)
(3)でxy = tと置換します。
x*dy = dtで、yの積分範囲が0→1ですのでtの積分範囲は0→xとなります。
J = ∫[x=0,1]{∫[t=0,x]{-log(1-t)/t}dt/x}dx
= ∫[x=0,1](1/x){∫[t=0,x]{-log(1-t)/t}dt}dx・・・・・・・・・・・・・・・(4)
多重対数関数をLi[n](x)で表すことにして(2)から別の計算方法をとると
J = ∫[x=0,1]{Li[2](x)/x}dx・・・・・・・・・・・・・・・(5)
Li[1](x) = -log(1-x), Li[n+1](x) = ∫[0,x](Li[n](t)/t)dtを用いると
Li[2](x) = ∫[0,x](-log(1-t)/t)dtですから
(1)(3)(4)で計算した式と(2)(5)で計算した式は一致していることが分かります。
ζ(3)を初等関数の積分で表す方法はあるみたいですが、自分の方法では上手くいきませんでした。
どこか計算間違いとか計算方針を変更したら初等関数の積分で表せるように修正できますでしょうか？
長文済みませんでした。よろしくお願いします。
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