数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[5]: ベクトルの証明２ / Page: 0]

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■3415 / inTopicNo.1)

　ベクトルの証明２

□投稿者/ Ｓ山口付き人(78回)-(2005/08/28(Sun) 23:40:08)

すみません。もう一つ分からない問題があったのでおねがいします。

△OABにおいて、∠AOBの二等分線と辺ABの交点をDとするとき、
AD:DB=OA:OBであることを証明せよ。

証明問題は苦手です・・（汗
詳しく教えてもらえたら嬉しいです。
おねがいします。

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■3420 / inTopicNo.2)

　Re[1]: ベクトルの証明２

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□投稿者/ X ファミリー(182回)-(2005/08/29(Mon) 13:41:42)

点Dが辺ABの内分点であることを利用して、↑ODを↑OA,↑OBで表すことを考えます。

まず、直線ODが∠AOBの二等分線であることから
↑OD=k(↑OA/OA+↑OB/OB)
（kは定数）
と表すことができます。
（↑OA、↑OBと平行な二本の単位ベクトルからなる二等辺三角形を考えましょう。）
これより
↑OD=(k/OA)↑OA+(k/OB)↑OB (A)
ここで点Dは辺ABの内分点であることから(A)の右辺の係数について
k/OA+k/OB=1 (B)
k/OA>0,k/OB>0 (C)
(B)(C)より
k=OA・OB/(OA+OB)
これを(A)に代入すると
↑OD=…
となるから…
（後は自分でやってみてね。）

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■3425 / inTopicNo.3)

　Re[2]: ベクトルの証明２

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□投稿者/ Ｓ山口付き人(80回)-(2005/08/29(Mon) 15:02:44)

■No3420に返信(Xさんの記事)
> 点Dが辺ABの内分点であることを利用して、↑ODを↑OA,↑OBで表すことを考えます。
>
> まず、直線ODが∠AOBの二等分線であることから
> ↑OD=k(↑OA/OA+↑OB/OB)
> （kは定数）
> と表すことができます。

これは習ったことないのですが、法則かなにかでしょうか？

> ↑OD=(k/OA)↑OA+(k/OB)↑OB (A)
> k=OA・OB/(OA+OB)
> これを(A)に代入すると

計算すると

{(OA*OB)/(OA+OB)}{1/(↑OA)+1/(↑OB)}

になったんですが、ここからどうしたらいいんでしょうか？

おねがいします。

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■3429 / inTopicNo.4)

　Re[3]: ベクトルの証明２

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□投稿者/ シンジ♂ 一般人(46回)-(2005/08/29(Mon) 16:14:56)

■No3425に返信(Ｓ山口さんの記事)
> ■No3420に返信(Xさんの記事)
>>点Dが辺ABの内分点であることを利用して、↑ODを↑OA,↑OBで表すことを考えます。
>>
>>まず、直線ODが∠AOBの二等分線であることから
>>↑OD=k(↑OA/OA+↑OB/OB)
>>（kは定数）
>>と表すことができます。
> > これは習ったことないのですが、法則かなにかでしょうか？

http://pds.exblog.jp/pds/1/200508/20/46/c0054746_13195150.gif
の上図がお役に立つと思います。太い青矢印が↑OA/OA, 太い赤矢印が↑OB/OBです。どちらも長さが1です。

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■3447 / inTopicNo.5)

　Re[4]: ベクトルの証明２

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□投稿者/ X ファミリー(184回)-(2005/08/30(Tue) 09:48:13)

＞＞計算すると

＞＞{(OA*OB)/(OA+OB)}{1/(↑OA)+1/(↑OB)}

＞＞になったんですが、ここからどうしたらいいんでしょうか？

計算を間違っています。
↑OD={(OA・OB)/(OA+OB)}{↑OA/OA+↑OB/OB}
=(OB・↑OA+OA・↑OB)/(OA+OB)
ですよ。
（1/(↑OA)と言うように、ベクトルで割っている時点で計算間違いであることに気付きましょう。）

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■3467 / inTopicNo.6)

　Re[5]: ベクトルの証明２

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□投稿者/ Ｓ山口付き人(82回)-(2005/08/30(Tue) 18:09:57)

有難うございました。

＞ここで点Dは辺ABの内分点であることから(A)の右辺の係数について
＞k/OA+k/OB=1 (B)
＞k/OA>0,k/OB>0 (C)
このあたりがまだちょっとぴんとこないんですが・・（汗

計算をした結果、OD=(OB・↑OA+OA・↑OB)/(OA+OB)
これはODを内分する比を表しているので、
AD:DB=↑OA:↑OBと分かりました。
AD:DB=OA:OBであることがこれで証明できたみたいです。

親切に教えてくださって有難うございました。
では。

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