数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 数列 / Page: 0]

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■33902 / inTopicNo.1)

　数列

□投稿者/ 　一般人(3回)-(2008/06/24(Tue) 23:14:35)

数列｛a［n］｝が
①:a［1］=0
②:a［n］＜a［n+1］(n=1,2,3･･･)
③2つの放物線y=(x-a［n］)^2とy=(x-a［n+1］)^2の交点は直線y=x上にある(n=1,2,3･･･)
この3つの条件を満たすとする。
（問）a［n］を表すnの式を推定し、それが正しいことを数学的帰納法で証明せよ。

ちなみにこれは3番目の問題で
(1)は（a［n+1］-a［n］/2）^2=a［n+1］+a［n］/2が成り立つことを証明せよ
（2）はa［2］,a［3］,a［4］を求めよ
という問題でした。この2問は難無く解けたのですが、a［n］の式を推定･･･といった記述ははじめてみるので、手が付けれません。　
ヒントだけでも良いので、教えて頂けないでしょうか？　宜しくお願いします

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■33903 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数列

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□投稿者/ kei 一般人(14回)-(2008/06/25(Wed) 00:24:34)

■No33902に返信(　さんの記事)
> 数列｛a［n］｝が
> ①:a［1］=0
> ②:a［n］＜a［n+1］(n=1,2,3･･･)
> ③2つの放物線y=(x-a［n］)^2とy=(x-a［n+1］)^2の交点は直線y=x上にある(n=1,2,3･･･)
> この3つの条件を満たすとする。
> （問）a［n］を表すnの式を推定し、それが正しいことを数学的帰納法で証明せよ。
>
> ちなみにこれは3番目の問題で
> (1)は（a［n+1］-a［n］/2）^2=a［n+1］+a［n］/2が成り立つことを証明せよ
> （2）はa［2］,a［3］,a［4］を求めよ
> という問題でした。この2問は難無く解けたのですが、a［n］の式を推定･･･といった記述ははじめてみるので、手が付けれません。　
> ヒントだけでも良いので、教えて頂けないでしょうか？　宜しくお願いします

(2)の答えはどうなりましたか？また、それからa[n]はどうなると予想できますか？

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■33904 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 数列

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□投稿者/ grin 一般人(27回)-(2008/06/25(Wed) 02:15:21)

2008/06/25(Wed) 02:16:23 編集(投稿者)

（a［n+1］-a［n］/2）^2=a［n+1］+a［n］/2　ではなく、
{（a［n+1］-a［n］)/2}^2=(a［n+1］+a［n］)/2 ですね。
a[1]=0,a[2]=2,a[3]=6,a[4]=12から、階差が2,4,6,・・・,2n,・・・
となっていることが分かります。
b[n]=2nとおくと、n≧2のとき、
a[n]=a[1]+Σ(k=1～(n-1))b[k]=n(n-1) となります(n=1のときもa[1]=0を満たしている）。
したがってa[n]=n(n-1)と推定して数学的帰納法を用います。

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■33914 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 数列

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□投稿者/ 　一般人(1回)-(2008/06/25(Wed) 19:09:04)

2008/06/25(Wed) 19:10:58 編集(投稿者)

>>keiさん
(2)の答えはa［2］=2,a［3］=6,a［4］=12となりました。
(1)を証明出来たため、n=1を代入して解きました。
>>grinさん
仰る通り、a［n］=n(n-1)と推定して数学的帰納法を用いると
a［k］=k(k-1)
これを(1)に代入し、纏めると｛a［k+1］-(k^2-3k+2)｝｛a［k+1］-k(k+1)｝=0
②の条件より、a［k+1］＞k(k-1)≧(k^2-3k+2)
よってa［k+1］=k(k+1)となるのでn=k+1でもa［n］=n(n-1)は成立
という感じでしょうか？

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■33915 / inTopicNo.5)

　Re[2]: 数列

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□投稿者/ grin 一般人(29回)-(2008/06/25(Wed) 19:24:05)

はい、それでいいと思います。

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■33916 / inTopicNo.6)

　Re[1]: 数列

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□投稿者/ 　一般人(2回)-(2008/06/25(Wed) 19:29:55)

有り難うございました

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