 | 一般に3次正方行列のケーリーハミルトンの定理により、
A = {(a,b,c),(d,e,f),(g,h,i)}に対して
s = -a-e-i, t = ae+ei+ia-cg-bd-hf, u = -aei-bfg-cdh+ceg+bdi+ahfとおくと、
A^3＋sA^2+tA+uE = O (Eは単位行列、Oは零行列)となります。
A = {(a,1,0),(0,b,1),(0,0,c)}とだとすると、
s = -a-b-c, t = ab+bc+ca, t = -abcとなり、
A^3-(a+b+c)A^2+(ab+bc+ca)A-abcE = Oとなります。
A^2 = {(aa,a+b,1),(0,bb,b+c),(0,0,cc)}ですから、
A^3 = {(aaa,aa+ab+bb,a+b+c),(0,bbb,bb+bc+cc),(0,0,ccc)}となります。
これらからn ≧ 2の場合
A^n = {(a^n,Σ[k=1,n](a^k*b^(n-k)),(a+b+c)^(n-1)),(0,b^n,Σ[k=1,n](b^k*c^(n-k))),(0,0,c^n)}
と予想して、数学的帰納法などで証明を試みれば良いでしょう。
# 計算間違い、予想間違いをしていたらごめんなさい。
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