 | 自己レスです。
> 残りは(0,1,1,1)(0,4,4,4)(1,1,1,1)(4,4,4,4)をどう処理するかですね。
> 詳細を検討した訳ではないですが、これらは2n ∈ A(5)とできるのかもしれません。
上記が証明できました。
(1) (a^2,b^2,c^2,d^2) ≡ (1,1,1,1)(4,4,4,4)の場合
a^2 ≡ b^2 (mod 5)ですから、a ≡ b (mod 5)とできます。
# もしa ≡ -b (mod 5)ならば、-bを改めてbとすれば良いです。
よってa-b = 5uとなる整数uが存在します。
同様にc^2 ≡ d^2 (mod 5)ですから、よってc-d = 5vとなる整数vが存在します。
2n = 2(a^2+b^2+c^2+d^2) = (a+b)^2+(a-b)^2+(c+d)^2+(c-d)^2
= (a+b)^2+(c+d)^2+25u^2+25v^2 = (a+b)^2+(c+d)^2+5(u+2v)^2+5(2u-v)^2
よって2n ∈ A(5)です。
(2) (a^2,b^2,c^2,d^2) ≡ (0,1,1,1)(0,4,4,4)の場合
b^2 ≡ c^2 ≡ d^2 (mod 5)ですから、b ≡ c ≡ d (mod 5)とできます。
u,vを整数として、a+b+2c+2d = 5u, 2a+2b-c-d = 5vとできます。
a-b+2c-2d = s, 2a-2b-c+d = tとおくと、
10n = (a^2+b^2+c^2+d^2)(1^2+1^2+2^2+2^2)
= (a+b+2c+2d)^2+(a-b+2c-2d)^2+(2a-2b-c+d)^2+(2a+2b-c-d)^2
= s^2+t^2+25u^2+25v^2
となります。
s^2+t^2 ≡ 0 (mod 5)ですから、x,yを整数として、
s^2+t^2 = 5(x^2+y^2)とおくことができます。
10n = 5(x^2+y^2)+25u^2+25v^2より、2n = x^2+y^2+5u^2+5v^2 ∈ A(5)
今までの結果をまとめると、nを自然数として
nが5の倍数ならば、n ∈ A(5)です。
nが5の倍数でないならば、n ∈ A(5)または2n ∈ A(5)です。
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