数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[22]: 整数の問題 / Page: 0]

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■33707 / inTopicNo.1)

　整数の問題

□投稿者/ おあたく一般人(1回)-(2008/06/13(Fri) 23:26:49)

任意の自然数nは4つ以下の平方数の和になります。(ラグランジュの四平方定理)
また4つの平方数の和に表される数同士の積もまた4つの平方数の和に表されます。(オイラーの恒等式?)

Zを整数全体の集合とし、Nを自然数全体の集合とします。
A = {x|(x ∈ N)∧(∃a,b,c,d ∈ Z)∧(x = a^2+b^2+c^2+d^2)}という集合を考えると
A = Nということになります。

k ∈ N, A(k) = {x|(x ∈ N)∧(∃a,b,c,d ∈ Z)∧(x = a^2+b^2+kc^2+kd^2)}とすると、
x, y ∈ A(k)ならばxy ∈ A(k)であることは容易に示せます。(オイラーの恒等式?とほぼ同じです。)

ラグランジュの四平方定理より任意の自然数nは、a,b,c,dを整数として、
n = a^2+b^2+c^2+d^2
と表されます。

a,b,c,dが2を法として全て異なるということはないので、c ≡ d (mod 2)としても一般性を失いません。
c = u+v, d = u-vとなる整数u, vが存在し、
n = a^2+b^2+(u+v)^2+(u-v)^2 = a^2+b^2+2u^2+2v^2
と表すこともできます。すなわち、A(2) = Nです。

k ≧ 4の場合、3はA(k)に属さないので、N ≠ A(k)です。
A(3) = Nと予想していますが、うまく証明はできていません。
証明方法のヒントまたは反例をご存知の方はご教示ください。

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■33709 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 整数の問題

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□投稿者/ らすかる大御所(334回)-(2008/06/14(Sat) 02:26:49)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

答にはなっていませんが…
とりあえず n≦10億の範囲では反例はありませんでした。

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■33717 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 整数の問題

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□投稿者/ おあたく一般人(2回)-(2008/06/14(Sat) 10:39:34)

らすかるさん、計算して頂きありがとうございます。
自分でも小さい自然数の範囲では計算してみたのですが、10億は無理でした。
Mathematicaとかの数学ソフトウェアを使用したのか、ご自身でプログラムを書かれたのでしょうか?

証明の方針として以下のようなものを考えています。
N = A(3)を証明するのは、A(3)が乗法に閉じているのと、自然数の素因数分解の一意性から、
自然数のうち1と素数がA(3)に属すことが示せれば十分です。

1や素数2や素数3がA(3)に属すことは容易に分かります。また色々調べたところ、
素数pがp ≡ 1 (mod 4)の場合、p = x^2+y^2となる整数x, yが見出せることと、
素数pがp ≡ 1 (mod 3)の場合、p = x^2+3y^2となる整数x, yが見出せることが分かりました。

残りは素数pがp ≡ 3 (mod 4)かつp ≡ 2 (mod 3)の場合、つまりp ≡ 11 (mod 12)の場合です。
p ≡ 11 (mod 12)の場合でも、素数pがa,b,c,d,fを整数として
a^2+b^2+3c^3+3d^2 = fp
となることは示すことができますが、ラグランジュの四平方定理の証明(の1つの方法)のように
f = 1に選べることを示すには到っていません。a,b,c,dをpの絶対最小剰余に置き換えれば、
f < 2pであることは分かりますが･･･。

またp ≡ 11 (mod 12)の場合、p = 3x^2-y^2となる整数x, yが見出せることが分かりましたが、
マイナス符号をどうすることもできず手詰まりになりました。

ご意見等がありましたら、宜しくお願いいたします。

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■33724 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 整数の問題

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□投稿者/ らすかる大御所(335回)-(2008/06/14(Sat) 15:17:53)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

＞Mathematicaとかの数学ソフトウェアを使用したのか、ご自身でプログラムを書かれたのでしょうか?

自分でプログラムを作りました。
10億までで1分程度でしたので、いろいろ工夫すれば1兆までとかも計算できると思いますが、
この先で反例が見つかるような気がしないのでやっていません。

証明は難しいですね。

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■33778 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 整数の問題

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□投稿者/ WIZ 一般人(48回)-(2008/06/16(Mon) 12:48:55)

p ≡ 2(mod 3)かつp > 2ならば、-3は法pで平方非剰余です。

{1,2,3,･･･,p-3}は平方剰余1から始まり、平方非剰余p-3で終わるので、
1 ≦ a < a+1 ≦ p-3となる整数aで、aは平方剰余で、a+1は平方非剰余となるものが存在します。

a ≡ b^2(mod p)かつ、平方非剰余同士の積は平方剰余なので、
(-3)(a+1) ≡ c^2(mod p) ⇒ c^2+3b^2+3 ≡ 0(mod p)となる整数b,cが存在します。

よってfを整数として、c^2+3b^2+3 = fpと表せます。
b,cをpの絶対最小剰余で置き換えると、c^2+3b^2+3 < p^2/4+3p^2/4+3 = p^2+3
よってf < p+3/p。2より大きい最小の3n+2型の素数は5なので3/p < 1。
以上からf ≦ p。

# おそらくcは3で割り切れる整数になるものと予想しますが、証明できていません。
# 12n+11型の素数では3は平方剰余なので、(-3)(a+1) ≡ c^2(mod p)からcが3で割り切れるとは言えない。

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■33807 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 整数の問題

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□投稿者/ WIZ 付き人(54回)-(2008/06/18(Wed) 12:52:58)

素数pがp ≡ 2(mod 3)かつp > 2である場合、
集合A = {x^2|x = 0,1,2,…(p-1)/2}, B = {-3-y^2|y = 0,1,2,…(p-1)/2}を考えます。

Aの要素同士で、法pで合同になるものはありません。
同様にBの要素同士で、法pで合同になるものもありません。

A∪Bを考えると、要素数はp+1個ですから、法pで合同となる要素が存在することになります。
一方はAの要素で他方はBの要素となりますから、x^2 = -3-y^2 (mod p)・・・(1)

0以上[√p]以下の整数a,b,c,dがあり、u = xa+yb-c, v = ya-xb-d, F = (u,v)を考えます。
a,b,c,dの値の組み合わせから、Fは([√p]+1)^2 > (√p)^2 = p^2すなわちp^2より多い組み合わせがあります。
一方uとvは法pでp通りしかあませんので、Fは法pで考えるとp^2通りに分けられます。
よってFの異なる組(u1,v2)と(u2,v2)で、u1 ≡ u2, v1 ≡ v2 (mod p)となるものがあります。

x*a1+y*b1-c1 ≡ x*a2+y*b2-c2 (mod p)
y*a1-x*b1-d1 ≡ y*a2-x*b2-d2 (mod p)
ここでa1-a2 = a, b1-b2 = b, c1-c2 = c, d1-d2 = dとおきます。
(u1,v2)と(u2,v2)はFの異なる組なので、a,b,c,dが全て0ということはありません。
またa,b,c,dは-[√p]以上[√p]以下の整数となります。

xa+yb ≡ c (mod p)・・・(2)
ya-xb ≡ d (mod p)・・・(3)
(2)(3)の両辺を2乗して加えると
(x^2+y^2)(a^2+b^2) ≡ c^2+d^2 (mod p)・・・(4)

ここで(1)よりx^2+y^2 ≡ -3 (mod p)ですから、(4)を変形すると
c^2+d^2+3a^2+3b^2 ≡ 0 (mod p)となります。

a,b,c,dは-[√p]以上[√p]以下の整数で、全てが0ということは無いので、
0 < c^2+d^2+3a^2+3b^2 < 8p^2

7以下の自然数fと、素数pが、fp ∈ A(3)である場合、p ∈ A(3)であるかの証明はできませんでした。
特定のfの値に対してはできました。f = 1,3,4でfp ∈ A(3)ならばp ∈ A(3)です。

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■33817 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 整数の問題

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□投稿者/ おあたく一般人(3回)-(2008/06/18(Wed) 21:24:52)

しばらく掲示板を見てませんでした。WIZさん素晴らしい解説ありがとうございます。

質問があります。
> a,b,c,dは-[√p]以上[√p]以下の整数で、全てが0ということは無いので、
> 0 < c^2+d^2+3a^2+3b^2 < 8p^2
と書いていらっしゃいますが、a,b,c,dの絶対値が[√p]以下ということで
0 < c^2+d^2+3a^2+3b^2 < 8p
ではないでしょうか?

もうひとつ
> 7以下の自然数fと、素数pが、fp ∈ A(3)である場合、p ∈ A(3)であるかの証明はできませんでした。
> 特定のfの値に対してはできました。f = 1,3,4でfp ∈ A(3)ならばp ∈ A(3)です。
f = 1は分かります。
f = 3はfp = 3p = c^2+d^2+3a^2+3b^2で、c^2+d^2 ≡ 0 (mod 3)ということになり、
平方数はmod 3で0か1に合同ですからc ≡ d ≡ 0 (mod 3)ということですよね?
c = 3u, d = 3vとおくと、3p = 9u^2+9v^2+3a^2+3b^2からp = a^2+b^2+3u^2+3v^2となるものと思います。
f = 4はどのように示すのか教えてください。
またf = 6は「6p ∈ A(3)ならば2p ∈ A(3)」が言えるので、結局残りはf = 2,5,7が示せれば
証明が完成するのですね?!

WIZさんの解説を全部飲み込めた訳ではないのですが、A(3)に限らず、
任意の自然数nについて、自然数fを1≦f≦2n+1として、pを2以外の素数とすると、
fp ∈ A(n)ということですよね? (2 = 1^2+1^2 ∈ A(n)です。)

3はA(4)やA(5)に属しませんが、A(4)やA(5)に属さない素数は他にあるのかとか
色々知りたいことがあります。

ともかくありがとうございます。

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■33818 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 整数の問題

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□投稿者/ らすかる大御所(337回)-(2008/06/18(Wed) 22:54:58)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

＞3はA(4)やA(5)に属しませんが、A(4)やA(5)に属さない素数は他にあるのか

A(4)には4n+3型の素数はすべて属さないと思います。

というより、ちょっと計算したら
　A(4)には4n+3型の数は属さず、それ以外の数はすべて属する
　A(5)に属さないのは3のみ
となっているようでした。

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■33821 / inTopicNo.9)

　Re[8]: 整数の問題

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□投稿者/ WIZ 付き人(57回)-(2008/06/19(Thu) 08:56:46)

> 0 < c^2+d^2+3a^2+3b^2 < 8p
> ではないでしょうか?

ご指摘の通りです。書き間違えました。申し訳ありません。

> f = 4はどのように示すのか教えてください。

4p = (c^2+3a^2)+(d^2+3b^2)とします。
平方数は4を法として0または1に合同なので、c^2+3a^2は
0+3*0 ≡ 0, 0+3*1 ≡ 3, 1+3*0 ≡ 1, 1+3*1 ≡ 0 (mod 4)
のどれかになります。

(c^2+3a^2)+(d^2+3b^2) ≡ 0 (mod 4)
から
(A)c^2+3a^2 ≡ 0, d^2+3b^2 ≡ 0 (mod 4)
(B)c^2+3a^2 ≡ 1, d^2+3b^2 ≡ 3 (mod 4)
(C)c^2+3a^2 ≡ 3, d^2+3b^2 ≡ 1 (mod 4)
のどれかになります。
a,bに区別はなく、c,dにも区別はないので、(B)と(C)を区別する必要はありません。

(B)の場合、
c^2+3a^2 ≡ 1 (mod 4)からc^2 ≡ 1, a^2 ≡ 0 (mod 4)、
d^2+3b^2 ≡ 3 (mod 4)からd^2 ≡ 0, b^2 ≡ 1 (mod 4)です。
すなわちc^2+3b^2 ≡ 0, d^2+3a^2 ≡ 0 (mod 4)となります。

よっていずれの場合もa,bおよびc,dを適当に入れ替えることで
4p = (c^2+3a^2)+(d^2+3b^2)はc^2+3a^2 ≡ 0, d^2+3b^2 ≡ 0 (mod 4)とできることが分かります。

mを非負整数として、4m = c^2+3a^2とおくと、
c^2 ≡ 0, a^2 ≡ 0 (mod 4)またはc^2 ≡ 1, a^2 ≡ 1 (mod 4)なので、
c ≡ a (mod 2)です。

c = u+v, a = u-vとなる整数u, vが存在しますので、
4m = (u+v)^2+3(u-v)^2 = 4u^2-4uv+4v^2 ⇒ m = u^2-uv+v^2
(D)u, vの少なくとも一方は偶数の場合
vを偶数としても一般性は失わないので、tを整数としてv = 2tとおくと、
m = u^2-2ut+4t^2 = (u-t)^2+3t^2
(E)u, vの両方とも奇数の場合
u ≡ v (mod 2)なので、s, tを整数としてu = s+t, v = s-tとおくと、
m = (s+t)^2-(s+t)(s-t)+(s-t)^2 = s^2+3t^2

よって4m = c^2+3a^2ならば、m = x^2+3y^2となる整数x, yが存在することが示されました。

4p = (c^2+3a^2)+(d^2+3b^2)はc^2+3a^2 ≡ 0, d^2+3b^2 ≡ 0 (mod 4)でしたので、
p = (x^2+3y^2)+(z^2+3w^2)と表されることも証明されました。

すなわち4p ∈ A(3)ならばp ∈ A(3)です。

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■33932 / inTopicNo.10)

　Re[9]: 整数の問題

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□投稿者/ おあたく一般人(4回)-(2008/06/26(Thu) 20:12:32)

お礼が遅くなりました。らすかるさん、WIZさん解説ありがとうございます。

> A(4)には4n+3型の数は属さず、それ以外の数はすべて属する
> A(5)に属さないのは3のみ

自分でも少し計算してしみて「A(5)に属さないのは3のみ」と予想していますが、
勿論自力での証明はできません。

A(4)に4n+3型素数は属さないことは、少し考えたら分かりました。
4n+3型非素数もA(4)に属さないかどうかは考えたことがありませんでした。

思ったのですが、3,7,11はA(4)に属さないのですが、3*7 = 21,3*11 = 33はA(4)に属します。
A(4)の範囲内で考えると、21も33もはこれ以上因数分解できないので素数(?)です。
21*33 = 693はA(4)に属す合成数ですが、21*33 = 9*77です。
9も77もA(4)の範囲内では素数(?)ですから、693の素因数分解は一意でないことになります。
2次体とか円分体のイデアルのように、A(4)でも3 = (21,33), 7 = (21,77), 11 = (33,77)と
イデアルもどきの定義ができるのかもしれません。
2次体とか円分体と違って、A(4)は乗法には閉じていますが、加法には閉じていない
(5,6はA(4)に属しますが、5+6 = 11はA(4)に属さない)
ので、A(4)のイデアルもどきの定義は難しいのかもしれませんが。

他の方の意見を聞くと、自分で気付けなかった性質や、研究テーマが見えて来るようで
なんかワクワクしてきます。

> WIZさん
「4p ∈ A(3)ならばp ∈ A(3)」の証明はかなり複雑ですね。

自分も少し考えました。
「4p ∈ A(3)ならばp ∈ A(3)」を示して頂いたことを前提とするものなんですが・・・。
2 ∈ A(3)です。もし2p ∈ A(3)なら、2*2p = 4p ∈ A(3)ですから、p ∈ A(3)となります。
「奇素数pと1以上7以下の自然数fについてfp ∈ A(3)」ですので、f = 2が証明できました。
残るのはf = 5とf = 7の場合だけです。

実は「A(3) = Nか?」を考えている理由は、コールドバッハの予想とのつながりを発見したからです。
ある偶数aが、4の倍数でかつ3n+2型だとします。
コールドバッハの予想を正しいと仮定すると、以下の(1)(2)のどちらかになります。
(1)a = p1+p2 但しp1もp2も3n+1型の素数、3n+1型の素数はp = x^2+3y^2と表せる。
(2)a = 3+p3 但しp3は3n+2型かつ4n+1型の素数、4n+1型の素数はp = x^2+y^2と表せる。
上記の(1)(2)のどちらの場合でもa ∈ A(3)となるので、A(3)に属さない数を見つけられたら
コールドバッハの予想の反例とつながるかもしれないと考えました。

また何かご意見等ありましたら宜しくお願い致します。

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■34332 / inTopicNo.11)

　Re[10]: 整数の問題

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□投稿者/ WIZ 付き人(91回)-(2008/07/15(Tue) 23:43:50)

fを自然数で1 ≦ f ≦ 7、pを自然数の素数とする場合、fp ∈ A(3)でした。
f = 5の場合、fp ∈ A(3)ならばp ∈ A(3)であることが証明できました。

5p = a^2+b^2+3c^2+3d^2, u = a^2+b^2, v = c^2+d^2とします。
u+3v ≡ 0 (mod 5)より、法5で考えると(u,v) ≡ (0,0)(1,3)(2,1)(3,4)(4,2)です。

一方、法5の平方剰余は1,4のみなので、u = a^2+b^2, v = c^2+d^2の法5における可能性は
# aとbは区別しません。同様にcとdも区別しません。
(a^2,b^2) ≡ (0,0), u ≡ 0 ⇒ v ≡ 0, (c^2,d^2) ≡ (0,0)(1,4)
(a^2,b^2) ≡ (0,1), u ≡ 1 ⇒ v ≡ 3, (c^2,d^2) ≡ (4,4)
(a^2,b^2) ≡ (0,4), u ≡ 4 ⇒ v ≡ 2, (c^2,d^2) ≡ (1,1)
(a^2,b^2) ≡ (1,1), u ≡ 2 ⇒ v ≡ 1, (c^2,d^2) ≡ (0,1)
(a^2,b^2) ≡ (1,4), u ≡ 0 ⇒ v ≡ 0, (c^2,d^2) ≡ (0,0)(1,4)
(a^2,b^2) ≡ (4,4), u ≡ 3 ⇒ v ≡ 4, (c^2,d^2) ≡ (0,4)
となります。

よって(a^2,b^2,c^2,d^2)の法5における可能性は
# x^2 ≡ (-x)^2 (mod 5)なので代表としてxを表示しています。
(a^2,b^2,c^2,d^2) ≡ (0,0,0,0) ⇒ (a,b,c,d) ≡ (0,0,0,0)・・・・・(1)
(a^2,b^2,c^2,d^2) ≡ (0,0,1,4) ⇒ (a,b,c,d) ≡ (0,0,1,2)・・・・・(2)
(a^2,b^2,c^2,d^2) ≡ (0,1,4,4) ⇒ (a,b,c,d) ≡ (0,1,2,2)・・・・・(3)
(a^2,b^2,c^2,d^2) ≡ (0,4,1,1) ⇒ (a,b,c,d) ≡ (0,2,1,1)・・・・・(4)
(a^2,b^2,c^2,d^2) ≡ (1,1,0,1) ⇒ (a,b,c,d) ≡ (1,1,0,1)・・・・・(5)
(a^2,b^2,c^2,d^2) ≡ (1,4,0,0) ⇒ (a,b,c,d) ≡ (1,2,0,0)・・・・・(6)
(a^2,b^2,c^2,d^2) ≡ (1,4,1,4) ⇒ (a,b,c,d) ≡ (1,2,1,2)・・・・・(7)
(a^2,b^2,c^2,d^2) ≡ (4,4,0,4) ⇒ (a,b,c,d) ≡ (2,2,0,2)・・・・・(8)
となります。

以下、(1)～(8)の各場合に分けて考えます。

その前に捕題として、以下の恒等式を記載しておきます。
(aa+bb+3cc+3dd)(ww+xx+3yy+3zz)
= (aw+bx+3cy+3dz)^2+(ax-bw+3cz-3dy)^2+3(ay-bz-cw+dx)^2+3(az+by-cw-dx)^2

---------------------------------------------------------------------
(1)(a,b,c,d) ≡ (0,0,0,0) (mod 5)
w,x,y,zを整数として、a = 5w, b = 5x, c = 5y, d = 5zとおけます。
⇒ 5p = 25(w^2+x^2+3y^2+3z^2)
⇒ p = 5(w^2+x^2+3y^2+3z^2)
⇒ 5 = 1^2+1^2+3*1^2 ∈ A(3)より、p = 5(w^2+x^2+3y^2+3z^2) ∈ A(3)です。

---------------------------------------------------------------------
(2)(a,b,c,d) ≡ (0,0,1,2) (mod 5)
(2.1)u,vを整数として、a = 5u, b = 5vとおけます。
⇒ a^2+b^2 = 25(u^2+v^2) = 5((2u+v)^2+(u-2v)^2)

(2.2)w,xを整数として、3c+d = 5w, c-3d = 5xとおけます。
⇒ (3c+d)^2+(c-3d)^2 = (9c^2+6cd+d^2)+(c^2-6cd+9d^2) = 10c^2+10d^2 = 25(w^2+x^2)
⇒ 2(c^2+d^2) = 5(w^2+x^2)
上記式よりw^2+x^2 ≡ 0 (mod 2)ですから、w ≡ x (mod 2)です。
y,zを整数として、w = y+z, x = y-zとおけます。
⇒ 2(c^2+d^2) = 5(w^2+x^2) = 5((y+z)^2+(y-z)^2) = 5(2y^2+2z^2)
⇒ c^2+d^2 = 5(y^2+z^2)

(2.1)(2.2)から
5p = a^2+b^2+3c^2+3d^2 = 5((2u+v)^2+(u-2v)^2)+3*5(y^2+z^2)
⇒ p = (2u+v)^2+(u-2v)^2+3y^2+3z^2 ∈ A(3)

---------------------------------------------------------------------
(3)(a,b,c,d) ≡ (0,1,2,2) (mod 5)
w,x,y,zを整数として、a-b+3c = 5w, a+b-3d = 5x, b+c+d = 5y, a-c+d = 5zとおけます。
⇒ (a-b+3c)^2+(a+b-3d)^2+3(b+c+d)^2+3(a-c+d)^2
= (a^1+b^2+9c^2-2ab+6ac-6bc)+(a^2+b^2+9d^2+2ab-6ad-6bd)
　+3(b^2+c^2+d^2+2bc+2bd+2cd)+3(a^2+c^2+d^2-2ac+2ad-2cd)
= (2a^1+2b^2+9c^2+9d^2+6ac-6bc-6ad-6bd)+3(a^2+b^2+2c^2+2d^2+2bc+2bd-2ac+2ad)
= 5a^1+5b^2+15c^2+15d^2
= 25(w^2+x^2+3y^2+3z^2)
⇒ 5p = a^1+b^2+3c^2+3d^2 = 5(w^2+x^2+3y^2+3z^2)
⇒ p = w^2+x^2+3y^2+3z^2 ∈ A(3)

---------------------------------------------------------------------
(4)(a,b,c,d) ≡ (0,2,1,1) (mod 5)
w,x,y,zを整数として、a-b-3c = 5w, a+b+3d = 5x, b-c-d = 5y, a+c-d = 5zとおけます。
⇒ (a-b-3c)^2+(a+b+3d)^2+3(b-c-d)^2+3(a+c-d)^2
= (a^2+b^2+9c^2-2ab-6ac+6bc)+(a^2+b^2+9d^2+2ab+6ad+6bd)
　+3(b^2+c^2+d^2-2bc-2bd+2cd)+3(a^2+c^2+d^2+2ac-2ad-2cd)
= (2a^2+2b^2+9c^2+9d^2-6ac+6bc+6ad+6bd)+3(a^2+b^2+2c^2+2d^2-2bc-2bd+2ac-2ad)
= 5a^2+5b^2+15c^2+15d^2
= 25(w^2+x^2+3y^2+3z^2)
⇒ 5p = a^1+b^2+3c^2+3d^2 = 5(w^2+x^2+3y^2+3z^2)
⇒ p = w^2+x^2+3y^2+3z^2 ∈ A(3)

---------------------------------------------------------------------
(5)(a,b,c,d) ≡ (1,1,0,1) (mod 5)
w,x,y,zを整数として、a-b-3c = 5w, a+b+3d = 5x, b-c-d = 5y, a+c-d = 5zとおけます。
以下の計算は(4)と同じで、p = w^2+x^2+3y^2+3z^2 ∈ A(3)となります。

---------------------------------------------------------------------
(6)(a,b,c,d) ≡ (1,2,0,0) (mod 5)
(6.1)w,xを整数として、3a+b = 5w, a-3b = 5xとおけます。
以下の計算は(2.2)とほぼ同様で、y,zを整数として、a^2+b^2 = 5(y^2+z^2)となります。

(6.2)u,vを整数として、c = 5u, d = 5vとおけます。
⇒ c^2+d^2 = 25(u^2+v^2) = 5((2u+v)^2+(u-2v)^2)

(6.1)(6.2)から
5p = a^2+b^2+3c^2+3d^2 = 5(y^2+z^2)+3*5((2u+v)^2+(u-2v)^2)
⇒ p = y^2+z^2+3(2u+v)^2+3(u-2v)^2 ∈ A(3)

---------------------------------------------------------------------
(7)(a,b,c,d) ≡ (1,2,1,2) (mod 5)
(7.1)w,xを整数として、3a+b = 5w, a-3b = 5xとおけます。
以下の計算は(2.2)とほぼ同じで、y,zを整数として、a^2+b^2 = 5(y^2+z^2)となります。

(7.2)s,tを整数として、3c+d = 5s, c-3d = 5tとおけます。
以下の計算は(2.2)とほぼ同じで、u,vを整数として、c^2+d^2 = 5(u^2+v^2)となります。

(7.1)(7.2)から
5p = a^2+b^2+3c^2+3d^2 = 5(y^2+z^2)+3*5(u^2+v^2)
⇒ p = y^2+z^2+3u^2+3v^2 ∈ A(3)

---------------------------------------------------------------------
(8)(a,b,c,d) ≡ (2,2,0,2) (mod 5)
w,x,y,zを整数として、a-b-3c = 5w, a+b+3d = 5x, b-c-d = 5y, a+c-d = 5zとおけます。
以下の計算は(4)と同じで、p = w^2+x^2+3y^2+3z^2 ∈ A(3)となります。

---------------------------------------------------------------------
以上から、f = 5の場合の証明が完成しました。

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■34443 / inTopicNo.12)

　Re[11]: 整数の問題

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□投稿者/ WIZ 軍団(103回)-(2008/07/19(Sat) 22:10:31)

pを自然数の素数として、f = 7の場合、
fp ∈ A(3)ならばp ∈ A(3)であることが証明できました。

7p = a^2+b^2+3c^2+3d^2, u = a^2+3c^2, v = b^2+3d^2とおきます。
u+v ≡ 0 (mod 7)ですから、法7に関して(u,v) ≡ (0,0)(1,6)(2,5)(3,4)です。

法7の平方剰余は1,2,4のみなので、u = a^2+3c^2とv = b^2+3d^2の法7における可能性は
(a^2,c^2) ≡ (0,0)(1,2)(2,4)(4,1), u ≡ 0 ⇒ v ≡ 0, (b^2,d^2) ≡ (0,0)(1,2)(2,4)(4,1)
(a^2,c^2) ≡ (1,0)(2,2), u ≡ 1 ⇒ v ≡ 6, (b^2,d^2) ≡ (0,2)(1,4)
(a^2,c^2) ≡ (2,0)(4,4), u ≡ 2 ⇒ v ≡ 5, (b^2,d^2) ≡ (0,4)(2,1)
(a^2,c^2) ≡ (0,1)(4,2), u ≡ 3 ⇒ v ≡ 4, (b^2,d^2) ≡ (1,1)(4,0)
となります。

よって(a^2,b^2,c^2,d^2)の法7における可能性は
# x^2 ≡ (-x)^2 (mod 7)なので代表としてxを表示しています。

# (u,v) ≡ (0,0)
(a^2,b^2,c^2,d^2) ≡ (0,0,0,0) ⇒ (a,b,c,d) ≡ (0,0,0,0)・・・・・(1A)
(a^2,b^2,c^2,d^2) ≡ (0,1,0,2) ⇒ (a,b,c,d) ≡ (0,1,0,3)・・・・・(1B)
(a^2,b^2,c^2,d^2) ≡ (0,2,0,4) ⇒ (a,b,c,d) ≡ (0,3,0,2)・・・・・(1C)
(a^2,b^2,c^2,d^2) ≡ (0,4,0,1) ⇒ (a,b,c,d) ≡ (0,2,0,1)・・・・・(1D)
(a^2,b^2,c^2,d^2) ≡ (1,1,2,2) ⇒ (a,b,c,d) ≡ (1,1,3,3)・・・・・(1E)
(a^2,b^2,c^2,d^2) ≡ (1,2,2,4) ⇒ (a,b,c,d) ≡ (1,3,3,2)・・・・・(1F)
(a^2,b^2,c^2,d^2) ≡ (1,4,2,1) ⇒ (a,b,c,d) ≡ (1,2,3,1)・・・・・(1G)
(a^2,b^2,c^2,d^2) ≡ (2,2,4,4) ⇒ (a,b,c,d) ≡ (3,3,2,2)・・・・・(1H)
(a^2,b^2,c^2,d^2) ≡ (2,4,4,1) ⇒ (a,b,c,d) ≡ (3,2,2,1)・・・・・(1I)
(a^2,b^2,c^2,d^2) ≡ (4,4,1,1) ⇒ (a,b,c,d) ≡ (2,2,1,1)・・・・・(1J)

# (u,v) ≡ (1,6)
(a^2,b^2,c^2,d^2) ≡ (1,0,0,2) ⇒ (a,b,c,d) ≡ (1,0,0,3)・・・・・(2A)
　⇒ (b^2,a^2,c^2,d^2) ≡ (0,1,0,2) ⇒ (b,a,c,d) ≡ (0,1,0,3)・・・・・(1B)に帰着
(a^2,b^2,c^2,d^2) ≡ (1,1,0,4) ⇒ (a,b,c,d) ≡ (1,1,0,2)・・・・・(2B)
(a^2,b^2,c^2,d^2) ≡ (2,0,2,2) ⇒ (a,b,c,d) ≡ (3,0,3,3)・・・・・(2C)
(a^2,b^2,c^2,d^2) ≡ (2,1,2,4) ⇒ (a,b,c,d) ≡ (3,1,3,2)・・・・・(2D)
　⇒ (b^2,a^2,c^2,d^2) ≡ (1,2,2,4) ⇒ (b,a,c,d) ≡ (1,3,3,2)・・・・・(1F)に帰着

# (u,v) ≡ (2,5)
(a^2,b^2,c^2,d^2) ≡ (2,0,0,4) ⇒ (a,b,c,d) ≡ (3,0,0,2)・・・・・(3A)
　⇒ (b^2,a^2,c^2,d^2) ≡ (0,2,0,4) ⇒ (b,a,c,d) ≡ (0,3,0,2)・・・・・(1C)に帰着
(a^2,b^2,c^2,d^2) ≡ (2,2,0,1) ⇒ (a,b,c,d) ≡ (3,3,0,1)・・・・・(3B)
(a^2,b^2,c^2,d^2) ≡ (4,0,4,4) ⇒ (a,b,c,d) ≡ (2,0,2,2)・・・・・(3C)
(a^2,b^2,c^2,d^2) ≡ (4,2,4,1) ⇒ (a,b,c,d) ≡ (2,3,2,1)・・・・・(3D)
　⇒ (b^2,a^2,c^2,d^2) ≡ (2,4,4,1) ⇒ (b,a,c,d) ≡ (3,2,2,1)・・・・・(1I)に帰着

# (u,v) ≡ (3,4)
(a^2,b^2,c^2,d^2) ≡ (0,1,1,1) ⇒ (a,b,c,d) ≡ (0,1,1,1)・・・・・(4A)
(a^2,b^2,c^2,d^2) ≡ (0,4,1,0) ⇒ (a,b,c,d) ≡ (0,2,1,0)・・・・・(4B)
　⇒ (a^2,b^2,d^2,c^2) ≡ (0,4,0,1) ⇒ (a,b,d,c) ≡ (0,2,0,1)・・・・・(1D)に帰着
(a^2,b^2,c^2,d^2) ≡ (4,1,2,1) ⇒ (a,b,c,d) ≡ (2,1,3,1)・・・・・(4C)
　⇒ (b^2,a^2,c^2,d^2) ≡ (1,4,2,1) ⇒ (b,a,c,d) ≡ (1,2,3,1)・・・・・(1G)に帰着
(a^2,b^2,c^2,d^2) ≡ (4,4,2,0) ⇒ (a,b,c,d) ≡ (2,2,3,0)・・・・・(4D)

[捕題1]
x,y,qを整数として、7q = x^2+3y^2ならば、q = u^2+3v^2となる整数u,vが存在する。
以下証明です。
(x^2,y^2) ≡ (0,0)(1,2)(2,4)(4,1) (mod 7)より、(x,y) ≡ (0,0)(1,3)(3,2)(2,-1) (mod 7)です。
いずれの場合もu,vを整数として、2x-3y = 7u, x+2y = 7vとおけます。
(7u)^2+3(7v)^2 = (2x-3y)^2+3(x+2y)^2 = 7x^2+21y^2
⇒ 7q = x^2+3y^2 = 7(u^2+3v^2) ⇒ q = u^2+3v^2
[捕題1 終了]

[捕題2]
w,x,y,z,qを整数として、7q = w^2+x^2+3y^2+3z^2、かつw^2+3y^2 ≠ 0 (mod 7)、
かつw^2+3z^2 ≠ 0 (mod 7)ならば、q = s^2+t^2+3u^2+3v^2+となる整数s,t,u,vが存在する。
# "≠"を"合同でない"の意味で用いました。
以下証明です。
(w^2,x^2,y^2,z^2) ≡ (1,1,0,4)(2,0,2,2)(2,2,0,1)(4,0,4,4)(0,1,1,1)(4,4,2,0) (mod 7)より、
(w,x,y,z) ≡ (1,1,0,2)(3,0,3,3)(3,3,0,-1)(2,0,2,2)(1,0,1,1)(2,-2,-3,0) (mod 7)です。
# (w^2,x^2,y^2,z^2) ≡ (0,1,1,1)は、証明の都合上(x,w,y,z) ≡ (1,0,1,1)を採用しています。
いずれの場合もs,t,u,vを整数として、7s = w+3y+3z, 7t = x-3y+3z, 7u = w-x-y, 7v = w+x-zとおけます。
(7s)^2+(7t)^2+3(7u)^2+3(7v)^2 = (w+3y+3z)^2+(x-3y+3z)^2+3(w-x-y)^2+3(w+x-z)^2 = 7w^2+7x^2+21y^2+21z^2
⇒ 7q = w^2+x^2+3y^2+3z^2 = 7(s^2+t^2+3u^2+3v^2)
⇒ q = s^2+t^2+3u^2+3v^2
[捕題2 終了]

(1A)(1B)(1C)(1D)(1E)(1F)(1G)(1H)(1I)(1J)は
a^2+3c^2 ≡ b^2+3d^2 ≡ 0 (mod 7)なので、捕題1を利用できます。

(2B)(2C)(3B)(3C)(4A)(4D)は
w^2+3y^2 ≠ 0, w^2+3z^2 ≠ 0, x^2+3y^2 ≠ 0, x^2+3z^2 ≠ 0 (mod 7)なので、
# "≠"を"合同でない"の意味で用いました。
捕題2を利用できます。

以上から、f = 7の場合の証明が完成しました。
そしてようやくA(3) = Nの証明も完成しました。
(途中間違いがあったらごめんなさい。)

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■34463 / inTopicNo.13)

　Re[12]: 整数の問題

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□投稿者/ おあたく一般人(5回)-(2008/07/20(Sun) 12:37:05)

しばらく掲示板を見てませんでした。
WIZさんA(3) = Nを証明を詳しく解説して頂きありがとうございます。

証明の内容は難しくて特に以下は自分の理解を超えているのですが少しずつ勉強していきます。
・7以下の自然数fと素数p(p ≡ 2(mod 3)かつp > 2)についてfp ∈ A(3)である。
・f = 4でfp ∈ A(3)ならばp ∈ A(3)である。
・f = 5でfp ∈ A(3)ならばp ∈ A(3)である。
・f = 7でfp ∈ A(3)ならばp ∈ A(3)である。

またA(3) = Nという結果から、A(3)に属さない整数の存在からゴールドバッハの予想の
反例を探すことは無理ということも分かりました。

もうひとつ、A(4)なんですが4n+3型の整数は素数でも合成数でも属さないことが分かりました。
A(4)に属す自然数mはa,b,c,dを整数としてm = a^2+b^2+4c^2+4d^2と表すことができます。
mod 4で考えるとm ≡ a^2+b^2です。
整数の2乗はmod 4で考えると0か1に合同ですから、WIZさんの書き方をまねさせて頂くと
(a^2,b^2) ≡ (0,0)(0,1)(1,1)のどれかです。
従ってm ≡ 0,1,2となりmが3に合同になることはありませんので4n+3型の自然数はA(4)には属しません。
他の4nとか4n+1とか4n+2型の自然数がA(4)に属すかどうかは分かりませんでした。
(2と4n+1型の素数がA(4)に属すことは分かりまたけど。)

ともかくありがとうございました！

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■34491 / inTopicNo.14)

　Re[13]: 整数の問題

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□投稿者/ WIZ 軍団(107回)-(2008/07/21(Mon) 01:05:39)

A(3) = Nの証明については間違いや疑問点があれば指摘や質問してください。

A(4)については以下の通りです。
nを自然数として、4n, 4n+1, 4n+2型の整数はA(4)に属し、4n+3型の整数はA(4)に属さないといえます。

(1)4n+3型の整数がA(4)に属さないこと
おあたくさんの考え方で良いと思います。

(2)4n+1, 4n+2型の整数がA(4)に属すこと
A(1) = Nですから、自然数mに対して整数a,b,c,dが存在してm = a^2+b^2+c^2+d^2と表せます。
法4で考えると平方数は0か1に合同ですから、
(a^2,b^2,c^2,d^2) ≡ (0,0,0,0)(0,0,0,1)(0,0,1,1)(0,1,1,1)(1,1,1,1)となります。
m ≡ 1またはm ≡ 2の場合、a^2 ≡ b^2 ≡ 0ですから、u,vを整数としてa = 2u, b = 2vとおくとことができます。
m = 4u^2+4v^2+c^2+d^2 ∈ A(4)です。

(3)4n型の整数がA(4)に属すこと
整数a,b,c,dが存在してn = a^2+b^2+c^2+d^2と表せます。
4n = (2a)^2+(2b)^2+4c^2+4d^2 ∈ A(4)です。

「A(4)のイデアルもどき」「A(5)に属さない自然数は3のみか?」についても考えてみます。
何か結果が出せれば書き込みますが、1ヶ月後ぐらいになるかもしれません。

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■34655 / inTopicNo.15)

　Re[14]: 整数の問題

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□投稿者/ おあたく一般人(7回)-(2008/07/26(Sat) 09:30:40)

WIZさん、返信ありがとうございます。

A(4)の解説は理解できました。
自分自身では今はA(4)のイデアルもどきを考えています。
でもまだ殆ど何も分かっていません。

少し雑談を書かせて頂きます。

整数論にすごく興味があって、自然数が4個以下の平方数の和になるとか、
自然数が3個以下の三角数の和になるとか、ウェアリングの問題とかを
考えるのが大好きです。

A(k) = a^2+b^2+k*c^2+k*d^2に属す自然数は何かをということを考えたのも
上に書いたことの延長からです。
A(k)の型の数が乗法に閉じていることを発見したときはすごく嬉しかったです。
世界中でこのことを知っているのは自分だけかもしれないなんて思いました。

B(k) = a^2+k*b^2の型に表せる数にも興味があり、色々調べて4n+1型の素数は
x^2+y^2と表せることが分かりました。
-3が3n+1型の素数の平方剰余であり、これを用いて3n+1型の素数はx^2+3y^2と
表せることを自分で導けたときすごく嬉しかったです。

-5は5n+1型の素数の平方剰余なのですがB(5)に属すのは5n+1型の素数とはならず
20n+1型か20n+9型と素数となることとか、B(23)に属す素数はan+b型のような
整数の法だけではきまらないけど素数全体の1/6の濃度になるとかは、
自分の理解を超えているのですが・・・。

また何か情報がありましたら教えてください。よろしくお願いいたします。

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■34675 / inTopicNo.16)

　Re[15]: 整数の問題

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□投稿者/ WIZ 軍団(124回)-(2008/07/27(Sun) 00:04:30)

雑談にのみ反応します。

ウェアリングの問題に興味があるのなら「チャレンジ!整数の問題199」という本を
読んでみることをお勧めします。問題集みたいなタイトルの本ですが、
初等整数論の読み物としては大変読みやすく、ウェアリングの問題のg(2) = 4やg(3) = 9
の初等的証明が解説されています。
# 個人的には若干厳密性を欠くと思われる解説も見受けられますが。

自然数が3個以下の三角数の和になることについては、初等的解説は見かけませんね。
「ガウス整数論」の邦訳が出ていますので、2次形式の章を読破する必要があります。
# 個人的には「ガウス整数論」は古い内容なので勉強には不向きと考えています。
# もっと新しい洗練された解説が記載された本で勉強すべきかもしれません。

A(k)を拡張して、k,mを整数, Zを有理整数全体としてA(k,m)を以下のように定義します。
A(k,m) = {n|(n ∈ Z)∧(∃a,b,c,d ∈ Z)∧(n = a^2+k*b^2+m*c^2+km*d^2)}
A(k,m)に属する整数は乗法に閉じています。
(aa+kbb+mcc+kmdd)(ww+kxx+myy+kmzz)
= (aw+kbx+mcy+kmdz)^2+k(ax-bw+mcz-mdy)^2+m(ay-kbz-cw+kdx)^2+km(az+by-cx-dw)^2

A(-1) = NとかA(2,4) = NとかA(5,-1) = Nなど考えてみると良いかもしれません。

> -5は5n+1型の素数の平方剰余なのですがB(5)に属すのは5n+1型の素数とはならず
> 20n+1型か20n+9型と素数となることとか、

少し違いますね。
pを自然数の素数, aをpの剰余として、ルジャンドルの記号をL(a,p)で表すことにすると、
L(-5,p) = L(-1,p)*L(5,p) = L(-1,p)*L(p,5)です。(平方剰余の相互法則)
(1)L(-1,p) = -1すなわちp = 4n-1型の場合、L(p,5) = -1よりp = 5n±2型です。
よってp = 20n+3型, 20n+7型となります。
(2)L(-1,p) = +1すなわちp = 4n+1型の場合、L(p,5) = +1よりp = 5n±1型です。
よってp = 20n+1型, 20n+9型となります。

上記から-5を平方剰余として持つ素数は5n+1型ではなく、上記(1)(2)に示した通りになります。
但し、p = x^2+5y^2と表せるのは上記(2)の場合だけです。(1)の場合は2p = x^2+5y^2となります。
このことを理解するためには2次体の整数論を勉強する必要があります。
古い本ですが「初等整数論講義」はお勧めです。
# もっと新しい洗練された解説が記載された本で勉強すべきかもしれません。

> B(23)に属す素数はan+b型のような
> 整数の法だけではきまらないけど素数全体の1/6の濃度になるとかは、

上記については内容を知ってるのみで、解説の書かれた本が手元にありませんので
詳しくは分かりません。2次体(或いはもっと高次代数体)の整数論(イデアル論)など
を勉強する必要があるもの思います。

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■34725 / inTopicNo.17)

　Re[16]: 整数の問題

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□投稿者/ おあたく一般人(9回)-(2008/07/28(Mon) 23:50:23)

WIZさん、色々情報ありがとうございます。

ウェアリングの問題のg(3) = 9の初等的証明が解説された本があるんですか？！
「チャレンジ!整数の問題199」は必ず読んでみます。

邦訳が出ているのは知りませんでしたけど「ガウス整数論」は知っています。
2次形式ですか・・・未知の領域です。

> A(k)を拡張して、k,mを整数, Zを有理整数全体としてA(k,m)を以下のように定義します。
> A(k,m) = {n|(n ∈ Z)∧(∃a,b,c,d ∈ Z)∧(n = a^2+k*b^2+m*c^2+km*d^2)}
> A(k,m)に属する整数は乗法に閉じています。
> A(-1) = NとかA(2,4) = NとかA(5,-1) = Nなど考えてみると良いかもしれません。

A(k)のkが負の整数の場合なんて考えたことがありませんでした。目から鱗です。
あとa^2+k*b^2+m*c^2+km*d^2 ∈ A(k,m)が乗法に閉じているなんて素晴らしい情報を
教えて頂きありがとうございます！
自分が書いたa^2+k*b^2 ∈ B(k)なんて、A(k,0)っていうことですよね！
ただ自分の知識ではA(-1) = NとかA(2,4) = NとかA(5,-1) = Nの証明が分かりません。
聞いてばっかりですが、良かったらヒントだけでも教えてもらえないでしょうか?

-5が平方剰余である素数pと、p = x^2+5y^2と表される素数pの解説ありがとうございます。
ルジャンドルの記号も平方剰余の相互法則も意味だけは理解していたつもりだったのですが、
使いこなせていませんでした。また2次体の整数論も自己流で勉強したことがあり、
イデアルという概念も知ってはいるという程度です。
もっともっと基礎からの整数論の勉強が必要ですね＞自分。

もうひとつ、A(5)に属す／属さない自然数についての考察を以下の方法で進めているのですが
誤りやアドバイスがありましたらお願いします。
(1)n = a^2+b^2+5c^2+5d^2で、nをmod 5で場合分けする。
(2)a^2,b^2,c^2,d^2は5の平方剰余だからmod 5で0,±1である。
(3)整数x,yにおいてx^2+y^2 ≡ 0 (mod 5)ならば、x^2+y^2 = 5(u^2+v^2)となる整数u,vが存在する。
(WIZさんのA(3)やA(4)の解説を読んで参考にさせて頂きました。)

よろしくお願いいたします。

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■34760 / inTopicNo.18)

　Re[17]: 整数の問題

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□投稿者/ WIZ 軍団(136回)-(2008/07/31(Thu) 10:13:18)

> 自分が書いたa^2+k*b^2 ∈ B(k)なんて、A(k,0)っていうことですよね！

一般にk,m,u,vを整数として、A(k*u^2,m*v^2) ⊂ A(k,m)です。

> ただ自分の知識ではA(-1) = NとかA(2,4) = NとかA(5,-1) = Nの証明が分かりません。

A(-1) = Nについては、
aを整数とすれば、(a+1)^2-a^2 = 2a+1ですから、2a+1 ∈ A(-1,0)
2a = 2a+1-1 ∈ A(-1,1)
これらとA(-1,0) ⊂ A(-1,1)を組み合わせれば、A(-1,1) = Zです。
# Zは整数、Nは自然数だったので、A(-1) = Nは間違いで、A(-1) = Zでした。

A(2,4) = Nは勘違いだったようです。撤回します。
# もしA(2,4) = Nの証明をしようとされていたのなら、時間を浪費させてしまい申し訳ありません。

A(-5,1) = Nについては、
k,uを整数として、k = u^2+1の場合、1^2-u^2+(u^2+1)*1^2-(u^2+1)*0^2 = 2 ∈ A(-1,k)です。
任意の奇数はA(-1)に属すことは既に示しました。
A(-1,k)は乗法に閉じているので、2と任意の奇数が属すことが分かれば、
任意の整数が属すといえます。
5 = 2^2+1ですから、A(-1,5) = A(5,-1) = Zです。

> もうひとつ、A(5)に属す／属さない自然数についての考察を以下の方法で進めているのですが

おあたくさんの方針で、A(5)に属す／属さない自然数を決定できるかもしれません。

但し、x^2+5y^2と表せる素数が、法5なり法20だけでは決まらないように、
法5なり法20だけでの場合分けでは上手くいかないかもという懸念はありますが。
-5を平方剰余として持つ素数はpまたは2pがx^2+5y^2に表せるので、
L(-5,p) = +1ならばp ∈ A(5)が証明できるかもしれません。
後はL(-5,p) = -1となる素数pをどう扱うかですね。
平方非剰余は2つの平方剰余の和になるという関係が使えるのかもしれません。

2次体の概念を使っても良いのなら、Q[√-3]の整数環は類数が1、すなわち素因数分解の
一意性が成立するので、A(3) = Nの証明も法3または法12の場合分けだけ上手く行きました。
でも、Q[√-5]の整数環は類数が2、すなわち素因数分解の一意性が成立しないので、
簡単ではないかもしれません。

おあたくさん自身も仰られていますが、2次体の整数論(イデアル論)を勉強されてから
A(5) = Nの証明に挑戦する方が良いかもしれません。

# 詳細を検討した訳ではないので、臆せず証明頑張ってください。

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■34847 / inTopicNo.19)

　Re[18]: 整数の問題

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□投稿者/ おあたく一般人(11回)-(2008/08/03(Sun) 13:05:02)

WIZさん、ご意見ありがとうございます。
まだ勉強不足ですけど、A(5) = N-{3}についての証明を途中まで考えてみました。

(1)n = a^2+b^2+5c^2+5d^2で、nをmod 5で場合分けする。
(2)a^2,b^2,c^2,d^2は5の平方剰余だからmod 5で0,±1である。

mod 5で平方数は0, 1, 4のどれかに合同になります。
a^2+b^2はmod 5で考えれば、0 ≦ a ≦ b ≦ 4としても一般性を失わないので、
0+0 ≡ 0, 0+1 ≡ 1, 0+4 ≡ 4, 1+1 ≡ 2, 1+4 ≡ 0, 4+4 ≡ 3のどれかに合同です。
この後どう議論を進めて行けば良いでしょうか?

(3)整数x,yにおいてx^2+y^2 ≡ 0 (mod 5)ならば、x^2+y^2 = 5(u^2+v^2)となる整数u,vが存在する。

これは証明できました。
x^2+y^2 ≡ 0 (mod 5)となるのは、xとyに区別がないので、(x^2, y^2) ≡ (0, 0)または(1, 4)です。

(3.1)(x^2, y^2) ≡ (1, 4)の場合
x^2 ≡ 1 (mod 5)から、+xか-xは+1に合同です。y^2 ≡ 4 (mod 5)から、+yか-yは+2に合同です。
つまりx+2y ≡ 0, 2x-y ≡ 0 (mod 5)が成り立ちます。

(3.2)(x^2, y^2) ≡ (0, 0)の場合
x ≡ 0, y ≡ 0 (mod 5)なので、x+2y ≡ 0, 2x-y ≡ 0 (mod 5)は成り立ちます。

(3.1)と(3.2)から、x+2y = 5u, 2x-y = 5vとなる整数u, vが存在することになります。
(x+2y)^2+(2x-y)^2 = (x^2+4xy+4y^2)+(4x^2-4xy+y^2) = 5(x^2+y^2)
(x+2y)^2+(2x-y)^2 = (5u)^2+(5v)^2 = 25(u^2+v^2)
上の2つの式からx^2+y^2 = 5(u^2+v^2)が導かれます。

誤りやアドバイスがありましたら、どんなことでも構わないので教えてください。
よろしくお願いいたします。

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■34858 / inTopicNo.20)

　Re[19]: 整数の問題

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□投稿者/ WIZ ファミリー(154回)-(2008/08/04(Mon) 15:42:02)

> 誤りやアドバイスがありましたら、どんなことでも構わないので教えてください。

今回、おあたくさんが書き込まれた範囲では誤りはないと思います。

どんなことでも構わないということなので、思いついた点だけ。

(1) 5の倍数の自然数はA(5)に属します。
証明は簡単で、A(1) = Nですから、任意の自然数nに対して、整数a,b,c,dが存在して
n = a^2+b^2+c^2+d^2と表せます。
よって5n = 5(a^2+b^2+c^2+d^2) = (2a+b)^2+(a-2b)^2+5c^2+5d^2 ∈ A(5)

もう少し述べると、平方数は法5で0,1,4のどれかに合同です。
n = a^2+b^2+c^2+d^2で、a^2 ≦ b^2 ≦ c^2 ≦ d^2としても一般性は失わないので、
(a^2,b^2,c^2,d^2) ≡
(0,0,0,0)(0,0,0,1)(0,0,0,4)(0,0,1,1)(0,0,1,4)(0,0,4,4)(0,1,1,1)(0,1,1,4)
(0,1,4,4)(0,4,4,4)(1,1,1,1)(1,1,1,4)(1,1,4,4)(1,4,4,4)(4,4,4,4) (mod 5)
上記のうち、2つの平方数の和が5の倍数になるパターン(0,0)(1,4)を含んでいるものは、
おあたくさんが示された「整数x,yにおいてx^2+y^2 ≡ 0 (mod 5)ならば、
x^2+y^2 = 5(u^2+v^2)となる整数u,vが存在する。」を使用することで、
A(5)に属しているといえます。

残りは(0,1,1,1)(0,4,4,4)(1,1,1,1)(4,4,4,4)をどう処理するかですね。
詳細を検討した訳ではないですが、これらは2n ∈ A(5)とできるのかもしれません。

(2)「L(-5,p) = +1ならばp ∈ A(5)が証明できるかもしれません。」は間違いでした。
簡単に反例が見つかりました。L(-5,3) = +1ですが、3はA(5)に属しません。

詳細な説明は2次体Q[√(-5)]の整数論(有理素数の分解)に譲りますが、
L(-5,p) = +1を満たす自然数の素数pは、pまたは2pが有理整数x,yを用いてx^2+5y^2と表せます。
もし、p = x^2+5y^2ならば、p ∈ A(5)は明らかです。
2p = x^2+5y^2とすると、x ≡ y (mod 2)です。
x ≡ y ≡ 0 (mod 2)ならば、u,vを整数として、x = 2u, y = 2vとおくと、p = 2(u^2+5v^2) ∈ A(5)です。
# 2pは4の倍数ではないので、x ≡ y ≡ 0 (mod 2)となることはないですが・・・。
x ≡ y ≡ 1 (mod 2)の場合が問題ですね。
p = 3がA(5)に属さないこと、すなわち2*3 = 1^2+5*1^2, x = 1, y = 1の場合は、
2p = x^2+5y^2でもpはA(5)に属さないので、もっと別な条件が隠れているものと思います。

x ≡ y (mod 2)ですから、u,vを整数としてx = u+v, y = u-vとおくことができます。
2p = x^2+5y^2 ⇒ p = 3u^2-4uv+3v^2となりますが、2次形式を調べたら何か手掛かりがあるかもしれません。

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