数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[5]: 重複する固有値 / Page: 0]

数学ナビゲーター掲示板
(現在過去ログ3 を表示中)

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■33204 / inTopicNo.1)

　重複する固有値

□投稿者/ digi 一般人(1回)-(2008/05/21(Wed) 20:07:07)

$2$A=\begin{pmatrix} -1 & a & -2 \\ 1 & 4 & 1 \\ 2 & 2 & 3 \\ \end{pmatrix}$
について，1がAの重複する固有値となるようなaを求めよ．という問題です．
どのように考えたらいいのかよくわかりません．お願いします．

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■33215 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 重複する固有値

▲▼■

□投稿者/ X ファミリー(199回)-(2008/05/22(Thu) 13:44:53)

2008/05/22(Thu) 13:46:44 編集(投稿者)

1がAの重複する固有値
⇔Aの固有方程式が1を重解に持つ
⇔f(t)をAの固有多項式とするとき、f(1)=0かつf'(1)=0

と考えましょう。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■33216 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 重複する固有値

▲▼■

□投稿者/ K.M. 一般人(3回)-(2008/05/22(Thu) 13:59:15)
http://www1.bbiq.jp/k_miyaga

固有方程式は
|-1-t a -2|
|1 4-t 1|
|2 2 3-t| =0 ：書くときは、行列式=0の通常の方程式に直してください。
整理して
-(t+1)(t-4)(t-3)-4+2a-{-4(4-t)-2(t+1)-a(t-3)}=0
左辺=f(t)=-t^3+6t^2+(a-7)t-a+2
f(1)=-1+6+a-7-a+2=0
因数　x-1　を持つので
f’(t)=-3t^2+12t+a-7
f’(1)=a+2=0 よりa=-2
このとき固有方程式は、
-t^3+6t^2-9t+4=0
-(t-1)^2 (t-4)=0 となる。

Xさんごめんなさい。解を作っておいたので、書き込みました。あしからず。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■33224 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 重複する固有値

▲▼■

□投稿者/ digi 一般人(2回)-(2008/05/23(Fri) 03:07:26)

少しわからないことがあります．

f(1)=0というのは因数定理ですよね？f'(1)=0も因数定理ですか？

K.M.さんの回答ではf'(1)=0を使っているようですが，f(1)=0はなくていいのでしょうか？求めるのはaひとつだけなのでf'(1)=0のみで十分なのでしょうか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■33226 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 重複する固有値

▲▼■

□投稿者/ K.M. 一般人(4回)-(2008/05/23(Fri) 07:25:14)
http://www1.bbiq.jp/k_miyaga

■No33224に返信(digiさんの記事)
> 少しわからないことがあります．
>
> f(1)=0というのは因数定理ですよね？f'(1)=0も因数定理ですか？
>
> K.M.さんの回答ではf'(1)=0を使っているようですが，f(1)=0はなくていいのでしょうか？求めるのはaひとつだけなのでf'(1)=0のみで十分なのでしょうか？

たとえば、αが重解のとき
f(x)=k(x-α)^2 (x-β) の形に因数分解される。
このとき、x=αは
f(α)=0 かつ　f’(α)=0 である。

問題の解では、f(1)=0　も示している。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■33288 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 重複する固有値

▲▼■

□投稿者/ digi 一般人(3回)-(2008/05/25(Sun) 17:30:08)

ありがとうございました．

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

トピック内ページ移動 / << 0 >>

このトピックに書きこむ

過去ログには書き込み不可

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター