 | 横から失礼します。
> ⊿ABCの辺BCに平行な直線がAB、ACと交わる点をD、Eするとき、
どの程度の知識を仮定して良いのか分からないのですが、
三角関数は使用しても良いのでしょうか?
正弦定理により
BC/sin(∠BAC) = AB/sin(∠ACB) = CA/sin(∠CBA)・・・(1)
DE/sin(∠DAE) = AD/sin(∠AED) = EA/sin(∠EDA)・・・(2)
△ABCの∠BACと、△ADEの∠DAEは共通ですから、
∠BAC = ∠DAE
また平行線の同位角であることから、
∠ACB = ∠AED
∠CBA = ∠EDA
よって
sin(∠BAC) = sin(∠DAE)・・・(3)
sin(∠ACB) = sin(∠AED)・・・(4)
sin(∠CBA) = sin(∠EDA)・・・(5)
とおくと、
(1)(2)に(3)(4)(5)を用いると
BC/AB = sin(∠BAC)/sin(∠ACB) = sin(∠DAE)/sin(∠AED) = DE/AD
AB/CA = sin(∠ACB)/sin(∠CBA) = sin(∠AED)/sin(∠EDA) = AD/EA
CA/BC = sin(∠CBA)/sin(∠BAC) = sin(∠EDA)/sin(∠DAE) = EA/DE
よって
BC/DE = AB/AD
AB/AD = CA/EA
CA/EA = BC/DE
以上からBC/DE = AB/AD = CA/EAとなり、対応する辺の比は等しい。
△ABCの面積 = 1/2*AB*AC*sin(∠BAC)
△ADEの面積 = 1/2*AD*AE*sin(∠DAE)
ここで、BC/DE = AB/AD = CA/EA = kとおくと、
(△ABCの面積)/(△ADEの面積)
= (1/2*AB*AC*sin(∠BAC))/(1/2*AD*AE*sin(∠DAE))
= (AB/AD)*(AC/AE)*(sin(∠BAC)/sin(∠DAE))
= k*k*1 = k^2
すなわち面積の比は、辺の比の2乗に等しい。
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