| 横から失礼します。 相似のごく初期段階での性質を導くので、何が定義であり、この段階で何を使って よいのかをはっきりさせておかねばならないですね。
(1) 相似の定義・・2つの図形で1方を拡大(または縮小)することにより、他方に重ねあわすことができる(すなわち合同にできる)とき、2つは相似である。 (2) この定義に基づいてでてくる「三角形の3つの相似条件」がいえる。 (3) 三角形の合同条件など、相似を扱う以前の中学2年までに証明された内容
相似の性質を扱った以降に出てくる定理・性質などはその証明の過程でどうめぐりまわって相似の性質を使っているか分からないので、安易に使わないほうがいいと思われます。
△ABCと△ADEは、AD//BCを使うことにより2角がそれぞれ等しく相似に なります。 AC上にAD:AB=AE':ACである点E'をとります。すると△ADE'と△A BCは2組の辺の比が等しくその間の角が等しいので相似。 よって、△ADEと△ADE'はともに△ABCと相似で辺ADが共通だから 、△ADE≡△ADE' となり、EとE'は重なり AD:AB=AE':AC=AE:AC がいえます。
3辺目はEを通るABの平行線を使えば、同様に同じ比になることがいえます。
AからBCへの垂線AHをひきDEとの交点をH'とします。(AH'はDEと垂直 にもなります) 相似であれば対応する線分の比がひとしいから、DE=k*BC とするとAH'=k*AH ゆえに△ADE=(1/2)*DE*AH'=(1/2)*k*BC*k*BC=k^2*△ABC よって、それぞれの面積が辺の比の2乗倍になる。
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