 | 別解)
x[n] = 7x[n-1] + 3y[n-1] (A)
y[n] = x[n-1] + 5y[n-1] (B)
(A)+(B)より
x[n]+y[n]=8{x[n-1]+y[n-1]} (C)
∴x[n]+y[n]={x[0]+y[0]}・8^n
=(3-2)・8^n=8^n (C)'
(C)'より
y[n]=8^n-x[n]
これを(A)の右辺に用いるとx[n]についての漸化式が導けます。
注)
この問題のポイントは(A)(B)から
ax[n]+by[n]=c{ax[n-1]+by[n-1]} (C)"
(a,b,cは定数)
の形ができると仮定して、数列{ax[n]+by[n]}の一般項をまず求めることにあります。
今回は「たまたま」初見で(A)+(B)を計算すれば求められましたが、一般には以下のように計算します。
(A)×a+(B)×bより
ax[n]+by[n]=(7a+b)x[n-1]+(3a+5b)y[n-1] (D)
(C)"(D)を比較して
ca=7a+b (E)
cb=3a+5b (F)
と選びます。
(E)(F)より
(7-c)a+b=0 (E)'
(3-c)a+5b=0 (F)'
ここで(E)'(F)'をa,bの連立方程式と見たとき、
(a,b)=(0,0)以外の解を持つ
ことが必要ですので、係数行列式について
5(7-c)-(3-c)=0
∴c=8
これを(E)'(F)'に代入するといずれも
a=b
従ってa=b=1と選んで(C)を得ます。
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