| 別解) x[n] = 7x[n-1] + 3y[n-1] (A) y[n] = x[n-1] + 5y[n-1] (B) (A)+(B)より x[n]+y[n]=8{x[n-1]+y[n-1]} (C) ∴x[n]+y[n]={x[0]+y[0]}・8^n =(3-2)・8^n=8^n (C)' (C)'より y[n]=8^n-x[n] これを(A)の右辺に用いるとx[n]についての漸化式が導けます。
注) この問題のポイントは(A)(B)から ax[n]+by[n]=c{ax[n-1]+by[n-1]} (C)" (a,b,cは定数) の形ができると仮定して、数列{ax[n]+by[n]}の一般項をまず求めることにあります。 今回は「たまたま」初見で(A)+(B)を計算すれば求められましたが、一般には以下のように計算します。
(A)×a+(B)×bより ax[n]+by[n]=(7a+b)x[n-1]+(3a+5b)y[n-1] (D) (C)"(D)を比較して ca=7a+b (E) cb=3a+5b (F) と選びます。 (E)(F)より (7-c)a+b=0 (E)' (3-c)a+5b=0 (F)' ここで(E)'(F)'をa,bの連立方程式と見たとき、 (a,b)=(0,0)以外の解を持つ ことが必要ですので、係数行列式について 5(7-c)-(3-c)=0 ∴c=8 これを(E)'(F)'に代入するといずれも a=b 従ってa=b=1と選んで(C)を得ます。
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