数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[5]: 剰余の定理 / Page: 0]

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■32815 / inTopicNo.1)

　剰余の定理

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□投稿者/ もん太一般人(2回)-(2008/05/02(Fri) 07:44:01)

整式P(x)を(x+1)^2で割ったときの余りは９であり、(x-1)^2で割ったときの余りは1である。P(x)を(x+1)^2(x-1)^2で割ったときの余りを求めよ。

条件式が必要な数だけ出来ませんでした。どうすればいいのでしょうか？

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■32816 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 剰余の定理

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□投稿者/ 七付き人(53回)-(2008/05/02(Fri) 09:03:25)

P(x)をで割ったときの商をQ(x)とすると余りは９だから
P(x)＝(x+1)^2･Q(x)＋9 … (1)
両辺をxについて微分して
P'(x)＝2(x+1)･Q(x)＋(x+1)^2･Q'(x) … (2)
(1) より P(－1)＝9
(2) より P'(－1)＝0

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■32825 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 剰余の定理

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□投稿者/ 豆一般人(38回)-(2008/05/02(Fri) 12:00:00)

P(x)=Q(x)(x+1)^2(x-1)^2+a(x+b)(x+1)^2+9
　　= Q(x)(x+1)^2(x-1)^2+a(x+b)(x-1)^2+4ax(x+b)+9　・・・A
　　= Q(x)(x+1)^2(x-1)^2+a(x+b)(x-1)^2+4a(x-1)^2+1　・・・B
A,Bを比較して、
4ab=-8a
9=4a+1
∴a=2、b=-2
余りは2(x-2)(x+1)^2+9=2x^3-6x+5

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■32830 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 剰余の定理

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□投稿者/ 豆一般人(39回)-(2008/05/02(Fri) 14:36:35)

もし、微分が使えるなら、
（済みません、七さんの回答意図が良くわかりません。同じ意図かも）
P(x)を(x+1)^2、(x-1)^2で割った余りが定数なので、求める余りをR(x)とすると、
R'(x)は2次式で(x+1)(x-1)=x^2-1を因数に持つので、
R'(x)=3a(x^2-1)
R(x)=ax^3-3ax+b
R(-1)=2a+b=9
R(1)=-2a+b=1　より
a=2,b=5
よってR(x)=2x^3-6x+5

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■32831 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 剰余の定理

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□投稿者/ 七付き人(56回)-(2008/05/02(Fri) 15:51:14)

■No32830に返信(豆さんの記事)
>七さんの回答意図が良くわかりません。同じ意図かも）

もん太さんはたぶん
P(x)＝(x+1)^2(x-1)^2Q(x)＋ax^3＋bx^2＋cx＋d
とおいて
P(－1)＝9，P(1)＝1
の2式を作り，式が足りないとおっしゃっているのだと思い
この2式を生かすならば
P'(－1)＝P'(1)＝0
の2式を追加すればよいと思ったのです。

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■32835 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 剰余の定理

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□投稿者/ もん太一般人(3回)-(2008/05/02(Fri) 16:09:59)

剰余の定理でも、微分って使うんですか・・・。

七さん、豆さん、ご教授ありがとうございました。＾＾

解決済み!

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