 | 2008/04/23(Wed) 00:57:34 編集(投稿者)
■No32658に返信(3aさんの記事)
> 無理数√nの整数部分をa,小数部分をbとするとき、a^3-9ab+b^3=0である。正の整数nの値を求めよ。
>
> という問題で自分はa^3-9ab+b^3=(9+3√n)a^2-(3n+9√n)a+n√n=0とし、aはnにより、ただひとつに決まるので判別式をDとし、D=0(重解)として計算すると、n(n^(1/2)+3)(n^(1/2)-9)=0という式がでてきてn=81となってしまうのですが、どこの部分がいけないのでしょうか？
「aはnにより、ただひとつに決まるので」とはいえない。
√n≧1 より a≧1 であるから、a が複数出ても a≧1 であるものを答えればよい。
√n＝a+b (n：自然数、a≧1) から b＝√n-a として a^3-9ab+b^3＝0 に代入し
( ① )√n+( ② )＝0 の形にする。
√n：無理数より ①＝0, ②＝0 となる自然数 a, n を求めればよい。
この問題のポイントは
(有理数①)×(無理数)＋(有理数②)＝0 ⇔ 有理数①＝0 かつ 有理数②＝0
です。
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