数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[5]: 無限級数の収束性 / Page: 0]

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■32337 / inTopicNo.1)

　無限級数の収束性

□投稿者/ momoko 一般人(1回)-(2008/04/01(Tue) 14:15:35)

お世話になります。
｜ai｜≦a^i がa∈［0,1)で成り立つとき、Σ(i=1,∞)aiは収束する事を示せという問題です。これは部分和を考えるのでしょうか？それともε-δ法でやるのでしょうか？手順が思い浮かばないのでわかる方よろしくお願いします。

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■32344 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 無限級数の収束性

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□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス軍団(116回)-(2008/04/01(Tue) 23:24:29)

> ｜ai｜≦a^i がa∈［0,1)で成り立つとき、Σ(i=1,∞)aiは収束する事を示せという問題です。これは部分和を考えるのでしょうか？それともε-δ法でやるのでしょうか？手順が思い浮かばないのでわかる方よろしくお願いします。

どちらでもできますよ。

$2$\displaystyle |\sum_{k=1}^n a_n|\leq \sum_{k=1}^n |a_n|\leq \sum_{k=1}^{\infty} a^k=\frac{a}{1-a}$

であることを使えばいいかと思います。

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■32345 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 無限級数の収束性

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□投稿者/ momoko 一般人(3回)-(2008/04/02(Wed) 00:53:26)

回答ありがとうございます。その式はどうやって導いたのでしょうか？もう少し詳しく教えて頂けると嬉しいです。よろしくお願いします。

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■32348 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 無限級数の収束性

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□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス軍団(117回)-(2008/04/02(Wed) 15:23:51)

一つ目の不等号は　「三角不等式」

２つ目の不等号は　仮定と
$2$\displaystyle \sum_{k=1}^n a^k\leq \sum_{n=1}^{\infty}a^n$
を使いました。

最後の等号は極限値の計算をしただけです。

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■32351 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 無限級数の収束性

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□投稿者/ momoko 一般人(4回)-(2008/04/02(Wed) 16:04:39)

どうもありがとうございます。
最後の極限値の計算が良くわかりません。すいませんがよろしくお願いします。

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■32353 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 無限級数の収束性

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□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス軍団(118回)-(2008/04/02(Wed) 19:23:30)

$2$0\leq a<1$ のとき $2$a^n \rightarrow 0 (n\rightarrow \infty)$
なので
$2$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a^k=a\frac{1-a^n}{1-a}\rightarrow \frac{a}{1-a}(n\rightarrow \infty)$

等比数列の和の公式を使いました。

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