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■32197 / inTopicNo.1) 　整数問題
  ▼■
□投稿者/ yoshi 一般人(18回)-(2008/03/21(Fri) 12:37:24)
    教えてください。
    　①整数x,yはy≧x^2を満たすものとする。整数k_0以上のすべての整数kについて、3x+4y=kを満たす整数の組(x,y)が存在するようなk_0の最小値を求めよ。


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■32214 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 整数問題
□投稿者/ のぼりん 一般人(1回)-(2008/03/21(Fri) 22:49:35)
    2008/03/22(Sat) 18:46:40 編集(投稿者)

    こんばんは。 以下、〔　〕 はガウス記号とします。

    ３ｘ＋４ｙ＝ｋ を満たす整数 ｘ、ｙ は、
    　　　ｘ＝４ｎ－ｋ、　ｙ＝３ｎ＋ｋ （ｎ は任意の整数）
    と書けます。
    　　　３ｎ＋ｋ＝ｙ≧ｘ＾２＝１６ｎ＾２－８ｋｎ＋ｋ＾２
    　　　１６ｎ＾２－（８ｋ＋３）ｎ＋ｋ＾２－ｋ≦０　…　☆
    だから、ｙ≧ｘ＾２ を満たすことは、☆を満たす整数 ｎ が存在することと同値です。
    　　　判別式＝（８ｋ＋３）＾２－４×１６（ｋ＾２－ｋ）＝１１２ｋ＋９
    だから、そのためには、ｋ≧０ が必要です。

    逆に、ｋ≧０ とします。
    ｋ＝０ のとき、ｘ＝ｙ＝０ は題意を満たします。
    ｋ＝１ のとき、ｘ＝－１、ｙ＝１ は題意を満たします。
    ｋ≧２ とします。
    　　　ｎ＝〔（ｋ＋２）/４〕≧１
    とおきます。 －１≦ｘ＝４ｎ－ｋ≦２ だから、
    　　　ｙ＝３ｎ＋ｋ＝３ｎ＋（４ｎ－ｘ）＝７ｎ－ｘ≧５＞４≧ｘ＾２
    です。

    以上から、ｋ_０＝０ です。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■32222 / inTopicNo.3) 　Re[2]: 整数問題
□投稿者/ hiro 一般人(6回)-(2008/03/22(Sat) 15:18:24)
    ■No32214に返信(のぼりんさんの記事)
    > こんばんは。 以下、〔　〕 はガウス記号とします。
    >
    > ３ｘ＋４ｙ＝ｋ を満たす整数 ｘ、ｙ は、
    > 　　　ｘ＝４ｎ－ｋ、　ｙ＝３ｎ＋ｋ （ｎ は任意の整数）
    > と書けます。
    > 　　　３ｎ＋ｋ＝ｙ≧ｘ＾２＝１６ｎ＾２－８ｋｎ＋ｋ＾２
    > 　　　１６ｎ＾２－（８ｋ＋３）ｎ＋ｋ＾２－ｋ≦０　…　☆
    > だから、ｙ≧ｘ＾２ を満たすことは、☆を満たす整数 ｎ が存在することと同値です。
    > 　　　判別式＝（８ｋ＋３）＾２－４×１６（ｋ＾２－ｋ）＝１１２ｋ＋９
    > だから、そのためには、ｋ≧０ が必要です。
    >
    > 逆に、ｋ≧０ とします。
    > ｋ＝０ のとき、ｘ＝ｙ＝０ は題意を満たします。
    > ｋ＝１ のとき、ｘ＝－１、ｙ＝１ は題意を満たします。
    > ｋ≧２ とします。
    > 　　　ｎ＝〔（ｋ＋２）/４〕≧１、ｊ＝４ｎ－ｋ
    > とおきます。 －１≦ｊ≦２ だから、
    > 　　　ｘ＝４〔（ｋ＋２）/４〕－ｋ＝４〔（４ｎ－ｊ＋２）/４〕－４ｎ＋ｊ
    > 　　　　＝４〔（２－ｊ）/４〕＋ｊ＝ｊ
    > 　　　ｙ＝３〔（ｋ＋２）/４〕＋ｋ＝３〔（４ｎ－ｊ＋２）/４〕＋４ｎ－ｊ
    > 　　　　＝７ｎ＋３〔（２－ｊ）/４〕－ｊ＝７ｎ－ｊ≧５＞４≧ｊ＾２＝ｘ＾２
    > です。
    >
    > 以上から、ｋ_０＝０ です。

    ありがとうございます。簡単な質問ですみませんが、
    > ３ｘ＋４ｙ＝ｋ を満たす整数 ｘ、ｙ は、
    > 　　　ｘ＝４ｎ－ｋ、　ｙ＝３ｎ＋ｋ （ｎ は任意の整数）
    > と書けます。
    とありますが、どうしてこのように書けるのでしょうか？
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■32224 / inTopicNo.4) 　Re[3]: 整数問題
□投稿者/ のぼりん 一般人(2回)-(2008/03/22(Sat) 15:57:57)
    2008/03/22(Sat) 16:02:18 編集(投稿者)
    2008/03/22(Sat) 16:02:09 編集(投稿者)

    ３ｘ＋４ｙ＝ｋ を移項・整理して、３（ｘ＋ｋ）＝４（－ｙ＋ｋ） です。
    ３ と ４ は互いに素だから、ｘ＋ｋ は ４ の倍数で、ｘ＋ｋ＝４ｎ （ｎ は任意の整数） と書けます。
    よって、ｘ＝４ｎ－ｋ、ｙ＝３ｎ＋ｋ と書けることが必要です。
    逆に、この様に定まる ｘ、ｙ は、３ｘ＋４ｙ＝ｋ を満たします。

    ところで、hiro さんは学生さんでしょうか？ 本問は何の問題でしょう？
    参考までにご教示いただけませんか？
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