□投稿者/ のぼりん 一般人(1回)-(2008/03/21(Fri) 22:49:35)
 | 2008/03/22(Sat) 18:46:40 編集(投稿者)
こんばんは。 以下、〔 〕 はガウス記号とします。
３ｘ＋４ｙ＝ｋ を満たす整数 ｘ、ｙ は、
ｘ＝４ｎ−ｋ、 ｙ＝３ｎ＋ｋ （ｎ は任意の整数）
と書けます。
３ｎ＋ｋ＝ｙ≧ｘ＾２＝１６ｎ＾２−８ｋｎ＋ｋ＾２
１６ｎ＾２−（８ｋ＋３）ｎ＋ｋ＾２−ｋ≦０ … ☆
だから、ｙ≧ｘ＾２ を満たすことは、☆を満たす整数 ｎ が存在することと同値です。
判別式＝（８ｋ＋３）＾２−４×１６（ｋ＾２−ｋ）＝１１２ｋ＋９
だから、そのためには、ｋ≧０ が必要です。
逆に、ｋ≧０ とします。
ｋ＝０ のとき、ｘ＝ｙ＝０ は題意を満たします。
ｋ＝１ のとき、ｘ＝−１、ｙ＝１ は題意を満たします。
ｋ≧２ とします。
ｎ＝〔（ｋ＋２）/４〕≧１
とおきます。 −１≦ｘ＝４ｎ−ｋ≦２ だから、
ｙ＝３ｎ＋ｋ＝３ｎ＋（４ｎ−ｘ）＝７ｎ−ｘ≧５＞４≧ｘ＾２
です。
以上から、ｋ_０＝０ です。
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