 | ■No32138に返信(αβγさんの記事)
> ｛a(n+2)=3a(n+1)+5a(n)
> ｛a(1)=1,a(2)=2
> で与えられる整数からなる数列{a(n)}に対して、次の問に答えよ。
> (2)a(n)を35で割ったあまりが1となるようなnの条件を求めよ。
mod 5 で考える。a[n+2]=3a[n+1]+5a[n] より a[n+2]≡3a[n+1]。
a[1]=1≡1、a[2]=2≡2
a[3]≡3a[2]≡1
a[4]≡3a[3]≡3
a[5]≡3a[4]≡4
a[6]≡3a[5]≡2
a[7]≡3a[6]≡1
…
よって、a[n]を５で割ってあまり１となるのは、n=3,7,11,…(一般項 4k+3,k=0,1,2,…)
(1)より a[n]を７で割ってあまり１となるのは、n=1,4,7,…(一般項 3m+1,m=0,1,2,…)
であるから、35で割ってあまり１となる n は、初項 7 公差 12 の等差数列より
n=12m+7(m=0,1,2,…)
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