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■32126 / inTopicNo.1) 　体積比
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□投稿者/ じゅん 一般人(1回)-(2008/03/15(Sat) 13:27:41)
    以下の問題で頭を悩ませています。
    どなたかわかる方いましたら、教えてください


    四面体OABCがあります。OA=BC=a, OB=CA=b, OC=AB=c(a,b,cは正の実数)とします。
    各AOB,BOC,COAの2等分線とAB,BC,CAの交点をそれぞれD,E,Fとし△AOB,△BOC,△COA
    の内心をそれぞれG,H,Iとします。
    四面体OABC,OGHIの体積をV,V'とします。a=b+c/3を満たしながら四面体OABCをいろいろつくるとき、V'/Vの最大値を求めよ


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■32127 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 体積比
□投稿者/ X 軍団(128回)-(2008/03/15(Sat) 15:33:33)
    線分ODは∠AOBの二等分線でDは辺AB上にありますので、△AOBに注目すると
    AD:DB=OA:OB=a:b (A)
    同様に△BOC,△COAに注目して
    BE:EC=b:c (B)
    CF:FA=c:a (C)
    ∴例えば△ABCの面積をS[△ABC]と表すことにすると
    (A)(C)より
    S[△ADF]=(AD/AB)(FA/CA)S[△ABC]
    ={(a^2)/{(a+b)(a+c)}}S[△ABC]
    同様に
    S[△BDE]={(b^2)/{(b+c)(b+a)}}S[△ABC]
    S[△CEF]={(c^2)/{(c+a)(c+b)}}S[△ABC]
    ∴S[△DEF]=S[△ABC]-S[△ADF]-S[△BDE]-S[△CEF]
    ={2abc/{(a+b)(b+c)(c+a)}}S[△ABC] (D)
    よって四面体ODEFの体積をV"とすると
    V"/V=S[△DEF]/S[△ABC]=2abc/{(a+b)(b+c)(c+a)} (E)
    さて、点G,H,Iはそれぞれ線分OD,OE,OF上にありますので
    V'/V"=(OG/OD)(OH/OE)(OI/OF) (F)
    (E)(F)より
    V'/V=(OG/OD)(OH/OE)(OI/OF){2abc/{(a+b)(b+c)(c+a)}} (G)
    後は△AOB,△BOC,△COAに注目して
    OG/OD,OH/OE,OI/OF (H)
    を求めれば(G)よりV'/Vをa,b,cで表すことができます。
    只、△AOB,△BOC,△COAはいずれも３辺の長さがa,b,cである三角形ですので
    (H)のいずれか１つを求められれば、式の対称性より残りの二つは
    いもづる式に求められます。
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■32128 / inTopicNo.3) 　Re[2]: 体積比
□投稿者/ X 軍団(129回)-(2008/03/15(Sat) 16:17:02)
    2008/03/15(Sat) 16:19:07 編集(投稿者)

    No.32127の続き)
    以上の計算により
    V'/V=2abc/(a+b+c)^3
    が導かれます。
    これに、条件式である
    a=(b+c)/3
    (注)a=b+c/3はタイプミスと見ました。
    及び相加平均と相乗平均の関係を使います。

    こちらの計算では
    最大値は9/128(このときb=c=3a/2)
    となりました。
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■32130 / inTopicNo.4) 　Re[2]: 体積比
□投稿者/ じゅん 一般人(3回)-(2008/03/15(Sat) 16:39:41)
    ご返信ありがとうございます。
    (F)の式がよくわからないのですが、公式かなにかでしょうか？

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■32131 / inTopicNo.5) 　Re[3]: 体積比
□投稿者/ X 軍団(130回)-(2008/03/15(Sat) 18:03:46)
    いいえ、公式ではありません。もう少し噛み砕いて説明しましょうか。

    四辺形OGEFの体積をUとすると
    U/V"=S[△OGE]/S[△ODE]=OG/OD
    又、四辺形OGHFの体積をWとすると
    W/U=S[△OGH]/S[△OGE]=OH/OE
    更に
    V'/W=S[△OGI]/S[△OGF]=OI/OF
    以上三式をかけて
    V'/V"=(OG/OD)(OH/OE)(OI/OF)
    となります。
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