□投稿者/ X 軍団(128回)-(2008/03/15(Sat) 15:33:33)
 | 線分ODは∠AOBの二等分線でDは辺AB上にありますので、△AOBに注目すると
AD:DB=OA:OB=a:b (A)
同様に△BOC,△COAに注目して
BE:EC=b:c (B)
CF:FA=c:a (C)
∴例えば△ABCの面積をS[△ABC]と表すことにすると
(A)(C)より
S[△ADF]=(AD/AB)(FA/CA)S[△ABC]
={(a^2)/{(a+b)(a+c)}}S[△ABC]
同様に
S[△BDE]={(b^2)/{(b+c)(b+a)}}S[△ABC]
S[△CEF]={(c^2)/{(c+a)(c+b)}}S[△ABC]
∴S[△DEF]=S[△ABC]-S[△ADF]-S[△BDE]-S[△CEF]
={2abc/{(a+b)(b+c)(c+a)}}S[△ABC] (D)
よって四面体ODEFの体積をV"とすると
V"/V=S[△DEF]/S[△ABC]=2abc/{(a+b)(b+c)(c+a)} (E)
さて、点G,H,Iはそれぞれ線分OD,OE,OF上にありますので
V'/V"=(OG/OD)(OH/OE)(OI/OF) (F)
(E)(F)より
V'/V=(OG/OD)(OH/OE)(OI/OF){2abc/{(a+b)(b+c)(c+a)}} (G)
後は△AOB,△BOC,△COAに注目して
OG/OD,OH/OE,OI/OF (H)
を求めれば(G)よりV'/Vをa,b,cで表すことができます。
只、△AOB,△BOC,△COAはいずれも３辺の長さがa,b,cである三角形ですので
(H)のいずれか１つを求められれば、式の対称性より残りの二つは
いもづる式に求められます。
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