 | 2008/03/06(Thu) 08:15:14 編集(投稿者)
■No31967に返信(やまともさんの記事)
> 有限数列f(0),f(1),…,f(n)において
> f(k)={(n-k+1)/k}f(k-1)(k=1,2,…n)かつ∑(n=0→n)f(k)=1とする。
> このとき
> (1)f(0)を求めよ。
f(k)
=(n-k+1)/k・f(k-1)
=(n-k+1)/k・(n-k+2)/(k-1)・f(k-2)
= …
=(n-k+1)/k・(n-k+2)/(k-1)・…・(n/1)・f(k-2)
=(n!)/{k!(n-k)!}・f(0)
=nCk・f(0)
∑(k=0→n)f(k)=∑(k=0→n)nCk・f(0)=2^n・f(0) より(二項定理)
2^n・f(0)=1
∴f(0)=(1/2)^n
> (2)一般項f(k)を求めよ。
f(k)=nCk・(1/2)^n
> (3)n=100のとき、f(k)が最大となるようなｋの値を求めよ。
f(k+1)/f(k)={[100]C[k+1]・(1/2)^100}/{[100]C[k]・(1/2)^100}=(99-k)/(k+1) より
f(k+1)≧f(k)⇔(99-k)/(k+1)≧1 から k≦49
すなわち
f(0)≦f(1)≦…≦f(48)≦f(49)＝f(50)≧…≧f(99)≧f(100) で
k=49, 50 で f(k)最大
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