数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 約数の個数 / Page: 0]

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■31834 / inTopicNo.1)

　約数の個数

□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス付き人(78回)-(2008/02/27(Wed) 23:52:35)

ちょっとわからない問題があるので、わかる方ご教授ください。

$2$S(n)$ を $2$n$ の約数の個数とするとき
$2$\displaystyle \sum_{k=1}^nS(k)=\sum_{k=1}^{n}[\frac{n}{k}]$ を示せ。
ここで $2$[,]$ はガウス記号を表す。

左辺は
（１の約数の個数）＋・・・・＋（ｎの約数の個数）
で

右辺は
１～ｎまでの数で
（１の倍数の個数）＋・・・・＋（ｎの倍数の個数）
であることはわかるのですが
これらが等しいという説明がわかりません。

よろしくお願いいたします。

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■31835 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 約数の個数

▲▼■

□投稿者/ らすかるベテラン(219回)-(2008/02/28(Thu) 00:12:53)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

2008/02/28(Thu) 00:13:51 編集(投稿者)

左辺で数えられているものを列挙してみると
1の約数: 1
2の約数: 1 2
3の約数: 1　　3
4の約数: 1 2　　4
5の約数: 1　　　　5
6の約数: 1 2　3　　6
7の約数: 1　　　　　 7
8の約数: 1 2　　4　　 8
9の約数: 1　　3　　　　9
・・・
これを縦に数えると
1が [n/1]個
2が [n/2]個
3が [n/3]個
・・・
となっていますね。

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■31838 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 約数の個数

▲▼■

□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス付き人(79回)-(2008/02/28(Thu) 00:48:23)

なるほど！！縦ごとに足していったのが右辺なのですね。
らすかるさん、迅速かつ丁寧な解答ありがとうございました！！

解決済み!

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