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■31622 / inTopicNo.1) 　4個の不等式で表される領域の面積
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□投稿者/ Yumiko-I 一般人(1回)-(2008/02/18(Mon) 05:53:40)
    xy平面において次の4個の不等式で表される領域の面積を求めなさい。

    x^2+y^2≦√(1-2k),x≦y≦k,0≦x≦1,0≦y≦1

    ただし、kは0≦k≦1/2を満たす定数とする。


    いろいろと図を描いてみたところ、0≦k≦(-1+√3)/2、(-1+√3)/2≦k≦-1+√2、-1+√2≦k≦1/2の三つの場合に分けなければならないことがわかりました。0≦k≦(-1+√3)/2のときは面積はk^2/2、-1+√2≦k≦1/2のときは面積はπ(1-2k)/8になることもわかりました(多分…)。でも(-1+√3)/2≦k≦-1+√2のときの面積の求め方がどうしてもわかりません。円弧のところの積分計算ができないんです。どなたか教えていただけないでしょうか。どうかよろしくお願いします。
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■31623 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 4個の不等式で表される領域の面積
□投稿者/ Yumiko-I 一般人(2回)-(2008/02/18(Mon) 06:07:22)
    (-1+√3)/2≦k≦-1+√2のときの面積は、

    k√(1-2k-k^2)+∫[√(1-2k-k^2)→√(1/2-k)]√(1-2k-x^2)dx-(√(1/2-k))^2/2

    となると思いますが、∫[√(1-2k-k^2)→√(1/2-k)]√(1-2k-x^2)dxの計算がどうしてもできないです。そもそも問題の解き方自体が違うような気がしてきました…。
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■31625 / inTopicNo.3) 　Re[2]: 4個の不等式で表される領域の面積
□投稿者/ X 軍団(102回)-(2008/02/18(Mon) 12:27:38)
    0≦k≦(-1+√3)/2、-1+√2≦k≦1/2
    のときのそれぞれの面積の計算結果はそれで問題ありません。

    (-1+√3)/2≦k≦-1+√2のときですが、
    円 x^2+y^2=√(1-2k) (A)
    と
    直線 y=x (B)
    との交点をP,(A)とy軸との交点の内、y>0の側のものをQ、求める面積をSとすると
    S=(扇形OPQの面積)-∫[k→√(1/2-k)]√(1-2k-x^2)dx
    =(π/8)(1-2k)-∫[k→√(1/2-k)]√(1-2k-x^2)dx
    ここで
    I=∫[k→√(1/2-k)]√(1-2k-x^2)dx
    について、x={√(1-2k)}sinθと置くと
    I=(1-2k)∫[α→π/2]{(cosθ)^2}dθ
    (但しαはsinα=k/√(1-2k),π/4<α<π/2なる角)
    =(1/2)(1-2k)∫[α→π/2](1+cos2θ)dθ
    =(1/2)(1-2k){(π/2-α)-(1/2)sin2α}
    =(1/2)(1-2k){(π/2-α)-sinαcosα}
    =(1/2)(1-2k){(π/2-α)-(sinα)√{1-(sinα)^2}
    =(1/2)(1-2k){(π/2-α)-{k/(1-2k)}√(1-2k-k^2)}
    よって
    S=(1/8)(1-2k){π-4(π/2-α)+4{k/(1-2k)}√(1-2k-k^2)}
    =(1/8)(1-2k){4α-π+4{k/(1-2k)}√(1-2k-k^2)}
    (但しαはsinα=k/√(1-2k),π/4<α<π/2なる角)
    残念ながら、これ以上は簡単にはなりません。


    逆に質問ですが
    ＞＞k√(1-2k-k^2)+∫[√(1-2k-k^2)→√(1/2-k)]√(1-2k-x^2)dx-(√(1/2-k))^2/2
    はどのような図形の面積を足し引きしたのでしょうか？。
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■31626 / inTopicNo.4) 　Re[1]: 4個の不等式で表される領域の面積
□投稿者/ Yumiko-I 一般人(3回)-(2008/02/18(Mon) 16:22:36)
    X様へ

    回答ありがとうございました。どうしてS=(扇形OPQの面積)-∫[k→√(1/2-k)]√(1-2k-x^2)dxとなるのかわからないです。申し訳ないですがもう少し詳しく教えていただけませんか？


    ＞逆に質問ですが
    ＞＞k√(1-2k-k^2)+∫[√(1-2k-k^2)→√(1/2-k)]√(1-2k-x^2)dx-(√(1/2-k))^2/2
    はどのような図形の面積を足し引きしたのでしょうか？。


    原点O、y=xとx^2+y^2=1-2kの交点A(√(1/2-k),√(1/2-k))、y=kとx^2+y^2=1-2kの交点B(√(1-2k-k^2),k)、y=kとy軸との交点C(0,√(1-2k))、Bからｘ軸に下ろした垂線の足をD、y=xとBDの交点をE、Aからｘ軸に下ろした垂線の足をFとします。

    このとき面積は、長方形OCBD+図形DBAF(BAは円弧の一部)-三角形OAFとなるので、これを計算すると、k√(1-2k-k^2)+∫[√(1-2k-k^2)→√(1/2-k)]√(1-2k-x^2)dx-(√(1/2-k))^2/2になります。

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■31632 / inTopicNo.5) 　Re[2]: 4個の不等式で表される領域の面積
□投稿者/ X 軍団(103回)-(2008/02/19(Tue) 12:10:50)
    ＞＞〜となるのかわからないです。申し訳ないですがもう〜
    No.31626でのYumiko-Iさんの説明による点の定義をそのまま使います。
    今
    円 x^2+y^2=1-2k
    とy軸との交点(0,√(1-2k))をGとすると、求める面積Sは
    S=(扇形OAGの面積)-(図形BCG(BCの部分は弧です)の面積)
    =(π/8)(1-2k)-∫[k→√(1/2-k)]√(1-2k-x^2)dx
    となります。

    こちらで質問した
    ＞＞k√(1-2k-k^2)+∫[√(1-2k-k^2)→√(1/2-k)]√(1-2k-x^2)dx-(√(1/2-k))^2/2
    の意味は理解しました。その方針で問題ありません。

    さて
    ∫[√(1-2k-k^2)→√(1/2-k)]√(1-2k-x^2)dx (A)
    の計算ですが
    ∫[k→√(1/2-k)]√(1-2k-x^2)dx (B)
    の計算と同様、x={√(1-2k)}sinθと置くことにより
    ∫[√(1-2k-k^2)→√(1/2-k)]√(1-2k-x^2)dx
    =(1-2k)∫[β→π/4]{(cosθ)^2}dθ
    (但しβはsinβ=/√{1-(k^2)/(1-2k)},0<β<π/4なる角)
    =… (A)'
    しかし(B)の計算結果と同様、(A)'の計算結果からもβを消すことはできません。
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■31657 / inTopicNo.6) 　Re[3]: 4個の不等式で表される領域の面積
□投稿者/ Yumiko-I 一般人(4回)-(2008/02/21(Thu) 10:21:13)
    X様へ

    回答ありがとうございました。無事解決しました。
解決済み!
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