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■31338 / inTopicNo.1)

　数学的帰納法による解法

□投稿者/ ゆう一般人(7回)-(2008/02/09(Sat) 15:17:47)

$2$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+......+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+......+\frac{1}{2n}$
であることを証明せよ。

という問題ですが、これを数学的帰納法にて解答するにはどのようにすればいいのでしょうか？
問題は、この後に上記左辺の無限級数の和を求めます。
どなたか模範解答を宜しくお願いします。

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■31342 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数学的帰納法による解法

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□投稿者/ X 付き人(84回)-(2008/02/09(Sat) 17:14:24)

(i)n=1のとき
(左辺)=1-1/2=1/2
(右辺)=1/(1+1)=1/2
となり成立。

(ii)n=kのとき成立を仮定します。
つまり
1-1/2+…+1/(2k-1)-1/(2k)=1/(k+1)+…1/(2k) (A)
n=k+1のとき
(左辺)=1-1/2+…+1/(2k-1)-1/(2k)+1/(2k+1)-1/(2k+2)
={1/(k+1)+…1/(2k)}+1/(2k+1)-1/(2k+2) (∵)(A)を代入
=1/(k+2)+…1/(2k)+1/(2k+1)-1/(2k+2)+1/(k+1)
=1/{(k+1)+1}+…1/(2k)+1/(2k+1)-(1/2)/(k+1)+1/(k+1)
=1/{(k+1)+1}+…1/(2k)+1/(2k+1)+(1/2)/(k+1)
=1/{(k+1)+1}+…1/(2k)+1/(2k+1)+1/{2(k+1)}
=(右辺)
となりこのときも成立。

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■31343 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 数学的帰納法による解法

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□投稿者/ CEGIPO 一般人(3回)-(2008/02/09(Sat) 17:24:16)

2008/02/09(Sat) 18:01:06 編集(投稿者)

■No31338に返信(ゆうさんの記事)
> $2$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+......+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+......+\frac{1}{2n}$
> であることを証明せよ。
>
>
> という問題ですが、これを数学的帰納法にて解答するにはどのようにすればいいのでしょうか？
> 問題は、この後に上記左辺の無限級数の和を求めます。
> どなたか模範解答を宜しくお願いします。

（数学的帰納法の部分について）

1-1/2+1/3-1/4+...+1/(2n-1)-1/(2n)=1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n)...[A]
を示します。

まず、いくつか実際に数値をあてはめてみて、式変形のあたりをつけましょう。
1-1/2+1/3-1/4=1/3+1/4
1-1/2-2/4=0

1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6=1/4+1/5+1/6
1-1/2+1/3-2/4-2/6=0

1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7-1/8=1/5+1/6+1/7+1/8
1-1/2+1/3-1/4-2/6-2/8=0

nが１増加する毎に、
左辺は、最右項が2項ずつ増加、
右辺は、最左項が1項ずつ減少、最右項が２項ずつ増加している
ということが見てとれますのでこの方針で行きましょう。

(n=1の時)
[A]式左辺=1-1/2=1/2
[A]式右辺=1/2
で成り立つ

<n=kで成り立つと仮定する>
1-1/2+1/3-1/4+...+1/(2k-1)-1/(2k)=1/(k+1)+1/(k+2)+...+1/(2k)
と書ける。

両辺から、1/(k+1)を引いて、
1-1/2+1/3-1/4+...+1/(2k-1)-1/(2k)-1/(k+1)=1/(k+2)+...+1/(2k)

両辺に1/(2k+1)+1/(2(k+1))を足して、
1-1/2+1/3-1/4+...+1/(2k-1)-1/(2k)-1/(k+1)+1/(2k+1)+1/(2(k+1))
=1/(k+2)+...+1/(2k)+1/(2k+1)+1/(2(k+1))

(上式左辺)=1-1/2+1/3-1/4+...+1/(2k-1)-1/(2k) -1/(k+1)+1/(2k+1)+1/(2(k+1))
=1-1/2+1/3-1/4+...+1/(2k-1)-1/(2k) +1/(2(k+1)-1)-1/(2(k+1))

よって、
1-1/2+1/3-1/4+...+1/(2k-1)-1/(2k) +(1/(2(k+1)-1))-1/(2(k+1))
=1/(k+2)+...+1/(2k)+1/(2k+1)+1/(2(k+1))...[B]
が成り立つ

（実際、-1/(k+1)+1/(2k+1)+1/(2(k+1))-{1/(2(k+1)-1))-1/(2(k+1)}
=-1/(k+1)+1/(2k+1)+1/(2(k+1))-1/(2k+1)+1/(2(k+1))
=-1/(k+1)+2/(2(k+1))=0
なので）

よって、任意の自然数nについて、[A]式が成り立つことがわかります。

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■31351 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 数学的帰納法による解法

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□投稿者/ ゆう一般人(10回)-(2008/02/09(Sat) 22:16:43)

こういう見方があったんですね。
ご両方とも有難うございました。
また何かあれば宜しくお願いします。

解決済み!

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