数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[5]: 微分 / Page: 0]

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■31289 / inTopicNo.1)

　微分

▼■

□投稿者/ moidi 一般人(3回)-(2008/02/06(Wed) 22:51:16)

f(x)は全ての実数xで微分可能で、任意の実数x、yに対し、f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y)を満たす。
f(0)=0、f'(0)=2のとき、f(x)+1を求めよ。

まったく思いつきません。
宜しくお願いします。

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■31290 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 微分

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□投稿者/ miyup 大御所(275回)-(2008/02/06(Wed) 23:48:03)

2008/02/06(Wed) 23:54:19 編集(投稿者)

■No31289に返信(moidiさんの記事)
> f(x)は全ての実数xで微分可能で、任意の実数x、yに対し、f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y)を満たす。
> f(0)=0、f'(0)=2のとき、f(x)+1を求めよ。

f'(0)
＝lim[h→0] {f(0+h)-f(0)}/h
＝lim[h→0] f(h)/h＝2 で
f'(x)
＝lim[h→0] {f(x+h)-f(x)}/h
＝lim[h→0] {f(x)+f(h)+f(x)f(h)-f(x)}/h
＝lim[h→0] {1+f(x)}f(h)/h
＝2{1+f(x)}
すなわち
f'(x)＝{f(x)+1}'＝2{f(x)+1}
f(x)+1＝y とおけば
y'＝2y で x＝0 のとき y＝f(0)+1＝1 となる y を求めればよい。
よって
y＝f(x)+1＝e^(2x)

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■31294 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 微分

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□投稿者/ moidi 一般人(4回)-(2008/02/07(Thu) 10:56:33)

■No31290に返信(miyupさんの記事)
> 2008/02/06(Wed) 23:54:19 編集(投稿者)

> f'(x)＝{f(x)+1}'＝2{f(x)+1}
　　　　　　↑
　　　これは、ここでは関係ないですが、{f'(x)+2}でも良いってことですよね?

> f(x)+1＝y とおけば
> y'＝2y で x＝0 のとき y＝f(0)+1＝1 となる y を求めればよい。
> よって
> y＝f(x)+1＝e^(2x)
ここが分かりません。
なぜe^(2x)となるのでしょうか。

よろしくお願いします。

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■31300 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 微分

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□投稿者/ miyup 大御所(276回)-(2008/02/07(Thu) 12:31:45)

■No31294に返信(moidiさんの記事)
>>y'＝2y で x＝0 のとき y＝f(0)+1＝1 となる y を求めればよい。
>>よって
>>y＝f(x)+1＝e^(2x)
> ここが分かりません。
> なぜe^(2x)となるのでしょうか。

微分方程式の解法はご存じですか？

微分方程式は新課程では範囲外です。京都大学以外ではほとんど出題されないようですが。

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■31326 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 微分

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□投稿者/ miyup 大御所(279回)-(2008/02/08(Fri) 23:59:54)

>y'＝2y で x＝0 のとき y＝f(0)+1＝1 となる y を求めればよい。

y'=2y より y'/y=2 , 1/y・dy/dx=2 で
両辺を x で積分すると
　∫(1/y・dy/dx)dx=∫2 dx
　∫1/y dy=∫2 dx
　log|y|=2x+C
∴ y=±e^(2x+C)
ここで x＝0 のとき y＝f(0)+1＝1 より
　1=±e^C
∴ C=0 で, y=e^(2x)

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■31334 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 微分

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□投稿者/ moidi 一般人(5回)-(2008/02/09(Sat) 10:14:36)

有難うございました。
どこかで習った気もしました･･･。

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