□投稿者/ miyup 大御所(275回)-(2008/02/06(Wed) 23:48:03)
 | 2008/02/06(Wed) 23:54:19 編集(投稿者)
■No31289に返信(moidiさんの記事)
> f(x)は全ての実数xで微分可能で、任意の実数x、yに対し、f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y)を満たす。
> f(0)=0、f'(0)=2のとき、f(x)+1を求めよ。
f'(0)
＝lim[h→0] {f(0+h)-f(0)}/h
＝lim[h→0] f(h)/h＝2 で
f'(x)
＝lim[h→0] {f(x+h)-f(x)}/h
＝lim[h→0] {f(x)+f(h)+f(x)f(h)-f(x)}/h
＝lim[h→0] {1+f(x)}f(h)/h
＝2{1+f(x)}
すなわち
f'(x)＝{f(x)+1}'＝2{f(x)+1}
f(x)+1＝y とおけば
y'＝2y で x＝0 のとき y＝f(0)+1＝1 となる y を求めればよい。
よって
y＝f(x)+1＝e^(2x)
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