数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 場合の数の問題 / Page: 0]

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■31169 / inTopicNo.1)

　場合の数の問題

□投稿者/ そう一般人(5回)-(2008/02/02(Sat) 04:01:10)

【問】
正１２角形の各頂点に時計周りに１，２、…１２の番号をふる。
この１２頂点から４頂点を選んで四角形を作ると全部で、
12Ｃ4通りの四角形を作ることができる。これらの四角形のうちに、
１頂点が１であり、正１２角形とは辺を共有しないものはいくつあるか。

という問題なんですが、この問題の解答が

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
残り３頂点の番号を、i,j,k(i<j<k)とすると、
辺を共有しない条件は

3≦i<j<k≦11, j-i≧2,k-j≧2,

すなわち

3≦i<j-1<k-2≦9

である。

これを満たすi,j-1,k-2の組数は3～9の７個の整数から３個を選ぶ
組合せの数である。

７Ｃ３＝３５

であり、したがって答えは　３５個
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

この解答の途中の不等式の変形で

差が２以上⇒差が１以上

に変形したのはわかるのですが

これは３つの不等式を一つの不等式にまとめるためととっていいんでしょうか？

また

差が２以上⇒差が３以上

のように変形してとく事も可能なんでしょうか？

よろしくお願いします。

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■31170 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 場合の数の問題

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□投稿者/ らすかるファミリー(157回)-(2008/02/02(Sat) 04:12:47)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

＞これは３つの不等式を一つの不等式にまとめるためととっていいんでしょうか？

違います。
「差が１以上」にしないと「整数から3個を選ぶ」という方法が使えないからです。
従って

＞差が２以上⇒差が３以上

のようにしても解けません。

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■31177 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 場合の数の問題

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□投稿者/ そう一般人(6回)-(2008/02/02(Sat) 10:22:46)

らすかるさん、２度目ですね
いつも本当に助かってます！！

ところで

> 「差が１以上」にしないと「整数から3個を選ぶ」という方法が使えないからです
。

なぜこうなるんでしょうか？
もし良ければ教えてくれませんか？

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■31178 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 場合の数の問題

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□投稿者/ らすかるファミリー(159回)-(2008/02/02(Sat) 11:09:41)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

例えば1～5から3個の整数を選ぶのは
(1,2,3)(1,2,4)(1,2,5)(1,3,4)(1,3,5)
(1,4,5)(2,3,4)(2,3,5)(2,4,5)(3,4,5)
の10通りですが、どの組も「他の整数との差は1以上」ですね。
（連続した整数から選ぶのですから当り前です。）
よって「差が1以上」ならば「連続した整数から選ぶ」という方法が使えます。

もし「差が2以上」の場合、例えば1～7から差が2以上になるように
3個の整数を選ぶのは
(1,3,5)(1,3,6)(1,3,7)(1,4,6)(1,4,7)
(1,5,7)(2,4,6)(2,4,7)(2,5,7)(3,5,7)
の10通りですが、これを直接計算できる式は（公式としては）ありません。
もし7個の連続する整数から3個を選んでしまったら、
(1,2,5)のように差が1のものも含んでしまいますね。

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■31179 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 場合の数の問題

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□投稿者/ そう一般人(7回)-(2008/02/02(Sat) 11:25:19)

ということは

差が２以上のときには
しらみ潰しに探すしか方法がなく大変であるため

差が１以上に変形して
公式を使えるようにしたという事でいいんでしょうか？

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■31180 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 場合の数の問題

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□投稿者/ らすかるファミリー(160回)-(2008/02/02(Sat) 11:45:03)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

その通りです。