 | 大変有難うございます。とても参考になっています。
> あまり数学的に厳密な議論ではないですが、方針を
> 1)∫[2 to ∞]x^p(ln(x))^qdx
> をx=e^tと変数変換すると、
> ∫[ln2 to ∞]e^[(p+1)t]t^qdt
> これは∞での振る舞いが重要になります。
> p+1<0とすればeが負で効いてくるので、
lim[t→∞]e^[(p+1)t]t^qではなく,積分ですよね。
負が効いてくるとはどういう意味でしょうか?
> 積分は収束します。よってp<-1
> 2)∫[0 to ∞]x^p(ln(1+x))^qdx
> 1+x=e^tと変数変換すると、
> ∫[0 to ∞](e^t-1)^p・e^t・t^qdt
> まず∞での被積分関数の振る舞いは〜e^[(p+1)t]t^qとなるので、
「〜」は同じくらいの極限という意味ですね。
確かに(e^t-1)^p・e^t・t^q〜e^[(p+1)t]t^qですね。
> 1)と同様p<-1
> 0での被積分関数の振る舞いは〜t^(p+q)となるので、p+q<-1
> よってp<-1かつp+q<-1
> となります。
t→0に連れてe^t→1ですから(e^t-1)^p・e^t・t^q〜t^pですよね。
これからどうしてt^p〜t^(p+q)が言えるのでしょうか?
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