数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[6]: 有界関数fがリーマン積分可能である事の示し方 / Page: 0]

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■30999 / inTopicNo.1)

　有界関数fがリーマン積分可能である事の示し方

□投稿者/ kana 一般人(1回)-(2008/01/26(Sat) 03:51:39)

宜しくお願い致します。m(＿＿)m

[問]fを[a,b](a<b)で有界な関数とし、lim[n→∞]L(P(n),f(x))=lim[n→∞]U(P(n),f(x))=L(∈R)となる[a,b]の分割の数列{P(n)}がある時,
f(x)が[a,b]で∫[a to b]f(x)dx=Lのリーマン積分可である事を示せ。
(但し,L(P(n),f(x))=Σ[i=1..n]m(i)･⊿x(i) (m(i)=inf{f(x);x(i-1)≦x≦x(i)}),U(P(n),f(x))=Σ[i=1..n]M(i)･⊿x(i) (M(i)=sup{f(x);x(i-1)≦x≦x(i)})とする)

という証明問題問題です。どのようにして示せばいいのでしょうか?

リーマン積分可能の定義は有界関数f(x)が[a,b]で下積分と上積分が一致する時,f(x)は[a,b]でリーマン積分可能という。

です。

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■31023 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 有界関数fがリーマン積分可能である事の示し方

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□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス付き人(50回)-(2008/01/26(Sat) 23:48:07)

結果からいうと
$2$\lim_{n\rightarrow \infty}L(P(n),f(x))$ が下積分
$2$\lim_{n\rightarrow \infty}U(P(n),f(x))$ が上積分
ですので、上のことを丁寧に言うことになります。

下積分、上積分の定義、ダルブーの定理はご存知ですか？

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■31053 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 有界関数fがリーマン積分可能である事の示し方

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□投稿者/ kana 一般人(2回)-(2008/01/28(Mon) 04:19:05)

「fが[a,b]でリーマン積分可」の定義が
「fが[a,b]で有界でlim[n→∞]L(P(n),f(x))=lim[n→∞]U(P(n),f(x))∈R(:実数体)」
でそのリーマン積分値の定義は「lim[n→∞]L(P(n),f(x))=lim[n→∞]U(P(n),f(x))の収束値」なのですね。
つまり、問題自体が既に定義を語っているので解答は仮定とリーマン積分の定義からfはリーマン積分可でその積分値はLである。の一行で終ってしまうのですよね。。。

因みにダルブウの定理は
「fが[a,b]で有界連続でf(x)≧0(∀x∈[a,b])で[a,b]を分割⊿でn等分した時の小区間δ(i):=x(i)-x(i-1)におけるM(i):=sup{f(x);x∈δ(i)},n(i):=inf{f(x);x∈δ(i)}とし、
s(⊿):=Σ[i=1..n]m(i)δ(i)、S(⊿):=Σ[i=1..n]M(i)δ(i)と置いた時,
J1=sup{s(⊿);⊿は分割}、J2=inf{S(⊿);⊿は分割}とすれば
lim[|⊿|→0]s(⊿)=J1,lim[|⊿|→0]S(⊿)=J2」

ですね?

うーん、この問題はどのように解答すればいいのでしょうか?

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■31054 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 有界関数fがリーマン積分可能である事の示し方

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□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス付き人(53回)-(2008/01/28(Mon) 09:49:22)

2008/01/28(Mon) 09:53:02 編集(投稿者)

> 「fが[a,b]でリーマン積分可」の定義が
> 「fが[a,b]で有界でlim[n→∞]L(P(n),f(x))=lim[n→∞]U(P(n),f(x))∈R(:実数体)」
> でそのリーマン積分値の定義は「lim[n→∞]L(P(n),f(x))=lim[n→∞]U(P(n),f(x))の収束値」なのですね。
> つまり、問題自体が既に定義を語っているので解答は仮定とリーマン積分の定義からfはリーマン積分可でその積分値はLである。の一行で終ってしまうのですよね。。。

おっしょるとおりほとんど自明に思われる命題です。
本によって定義は多少異なりますが、リーマン積分の定義はリーマン和を $2$\lim_{n\rightarrow \infty}$ としたものではなく分割の幅 $2$\Delta$ を $2$|\Delta|\rightarrow 0$ のときの極限値であったと思います。

よって

① $2$|\Delta|\rightarrow 0$ のとき $2$n\rightarrow\infty$

であることをいって

② $2$f$ のリーマン和を $2$R(P_n,\Delta)$ として

$2$L(P_n,f)\leq R(P_n,\Delta) \leq U(P_n,f)$

$2$\lim_{|\Delta|\rightarrow 0}L(P_n,f)=\lim_{n\rightarrow \infty}L(P_n,f)=L$
$2$\lim_{|\Delta|\rightarrow 0}U(P_n,f)=\lim_{n\rightarrow \infty}U(P_n,f)=L$

なので、はさみうちの原理から
$2$\lim_{|\Delta|\rightarrow 0}R(P_n,f)=L$ となります。

> 因みにダルブウの定理は...
$2$f$ を $2$I$ 上の有界関数として

$2$|\Delta|\rightarrow 0$ のとき $2$s(\Delta)\rightarrow J_1,S(\Delta)\rightarrow J_2$

です。分割がn等分分割であることや $2$f$ が連続関数などは仮定されてもなくても成立します。
ダルブーの定理を用いるかと思いましたが。予想はずれでした・・・

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■31128 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 有界関数fがリーマン積分可能である事の示し方

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□投稿者/ kana 一般人(5回)-(2008/01/31(Thu) 07:30:12)

ご回答大変感謝致します。

|⊿|→0ならばn→∞なので
lim[|⊿|→0]L(P(n),f(x))=lim[n→∞]L(P(n),f(x))=L,
lim[|⊿|→0]L(U(n),f(x))=lim[n→∞]U(P(n),f(x))=L …(*)
でリーマン積分の定義lim[|⊿|→0]L(P(n),f(x))≦lim[|⊿|→0]R(P(n),f(x))≦lim[|⊿|→0]U(P(n),f(x))
と(*)とはさみ打ちの定理からlim[|⊿|→0]R(P(n),f(x))=L
となるのですね。

うーんでも|⊿|→0,つまり,
P(1):{1,1/2,1},P(2):{0,1/4,1/2,3/4,1},P(3):{0,1/8/1/4,3/8,1/2,5/8,3/4,7/8,1}という感じになるので
自動的にn→∞と言えると思いますが証明となるとどのようにコメントすればいいのでしょうか?

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■31130 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 有界関数fがリーマン積分可能である事の示し方

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□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス付き人(58回)-(2008/01/31(Thu) 09:29:24)

問題には $2$P_n$ がどのような分割か明示されていないのですが、n等分割、 $2$2^n$ 等分割などの仮定はなされていないですか？

上の文章でkanaさんは $2$2^n$ 等分割と解釈しているようなので、それでいきます。
分割の幅 $2$|\Delta|$ の定義は
$2$|\Delta|=\max_{1\leq i<j\leq n}|x_i-x_j|$
です。
たとえば長さ１００の区間を
$2${10,10,80}$ の長さの３つの区間に分割した $2$\Delta_1$ の幅は $2$|\Delta_1|=80$
です。

$2$2^n$ 等分割では $2$|\Delta|=\frac{1}{2^n}$ ですので $2$\frac{1}{2^n}\rightarrow 0$ のとき $2$n\rightarrow \infty$ と一言いえばいいでしょう。

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■31168 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 有界関数fがリーマン積分可能である事の示し方

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□投稿者/ kana 一般人(6回)-(2008/02/02(Sat) 02:23:33)

分割はn等分割でした。
でもお陰様で漸く解けました。
大変有難うございました。

解決済み!

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