数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 数列の格子点の問題 / Page: 0]

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■30979 / inTopicNo.1)

　数列の格子点の問題

□投稿者/ そう一般人(1回)-(2008/01/25(Fri) 12:04:02)

問
自然数nに対して、直線3x+2y=6n,x=0,y=0に囲まれる三角形の周および
内部にあり、x座標とy座標がともに整数である点はいくつあるか。

この問題の解答では
3x+2y=6nとx=kとの交点の座標（ｋ，３ｎ－３x／２）を求めて、
xについて偶奇で場合わけをして格子点を求めるのですが
偶奇の分け方について質問があります

模範解答では、ｍを整数とすると
①ｘ＝２ｍ（ｍ＝０、１、…ｎ）
②ｘ＝２ｍ－１（ｍ＝１、２…ｎ）

と場合わけしているのですが

②”ｘ＝２ｍ＋１（ｍ＝０、１…ｎ）
ではダメなんでしょうか？

またこの場合わけ（①と②”）で計算していくと
[m=0 to n]∑（6n-6m)
となるのですが

この後の計算で[m=0]と[m=1 to n]に分けて足さないと模範解答と
答えが違ってしまうのですが（答えは3n^2+3n+1）

そのまま分けて足さなくてもできるのでしょうか？

文が長くなってしまいましたが
よろしくお願いします

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■30980 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数列の格子点の問題

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(257回)-(2008/01/25(Fri) 12:41:00)

■No30979に返信(そうさんの記事)
> 模範解答では、ｍを整数とすると
> ①ｘ＝２ｍ（ｍ＝０、１、…ｎ）
> ②ｘ＝２ｍ－１（ｍ＝１、２…ｎ）
> と場合わけしているのですが
> ②”ｘ＝２ｍ＋１（ｍ＝０、１…ｎ）
> ではダメなんでしょうか？

②”ｘ＝２ｍ＋１（ｍ＝０、１…ｎ－１）なら同じです。

> またこの場合わけ（①と②”）で計算していくと
> [m=0 to n]∑（6n-6m)
> となるのですが
> この後の計算で[m=0]と[m=1 to n]に分けて足さないと模範解答と
> 答えが違ってしまうのですが（答えは3n^2+3n+1）
> そのまま分けて足さなくてもできるのでしょうか？

∑の公式は m=1 からなので、m=0 は入れられません。

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■30982 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 数列の格子点の問題

▲▼■

□投稿者/ らすかる軍団(136回)-(2008/01/25(Fri) 15:06:40)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

＞そのまま分けて足さなくてもできるのでしょうか？
分けずに計算するなら
Σ[m=0～n](6n-6m)=Σ[m=1～n+1](6n-6(m-1))
と変形すればいいですね。

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■31001 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 数列の格子点の問題

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□投稿者/ そう一般人(2回)-(2008/01/26(Sat) 07:49:16)

miyapさんありがとうございました。
返信が遅れてしまい申し訳ありません↓

質問なのですが
∑の計算でm=0から始まるものはないのでしょうか？

他の問題で見たことがある気がするのですが…

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■31002 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 数列の格子点の問題

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□投稿者/ そう一般人(3回)-(2008/01/26(Sat) 07:53:49)

らすかるさんありがとうございました。
返信が遅れてしまい申し訳ありません

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■31003 / inTopicNo.6)

　Re[3]: 数列の格子点の問題

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□投稿者/ らすかる軍団(138回)-(2008/01/26(Sat) 07:59:44)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

2008/01/26(Sat) 08:00:37 編集(投稿者)

Σの始値は1に限らず、0でも100でも、整数なら何でもありです。
しかし、Σ[k=1～n]k=n(n+1)/2 という公式は始値が1の場合限定ですから
始値が1以外の場合は使えません。
0を除外するとか、始値をずらすなどして始値を1にしてから公式を使います。

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■31019 / inTopicNo.7)

　Re[4]: 数列の格子点の問題

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□投稿者/ そう一般人(4回)-(2008/01/26(Sat) 18:33:10)

らすかるさん、理解できました
ありがとうございます

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